【連立方程式の利用】速さ・道のり・時間の文章問題の解き方

連立方程式の文章問題が苦手・・・!

中学生の連立方程式で厄介なのはやっぱり、

文章問題

だよね。

いわゆる連立方程式の利用っていう単元だ。

中でも狙われやすいタイプは、

「道のり・速さ・時間」についての文章題だ。

 

 

連立方程式を使った「道のり・速さ・時間」に関する文章問題

例えば、次のような問題↓

 

 

この問題は次の3ステップで解けるよ。

 

Step1. 図をかいてみる

まずはやってほしいのが、一旦、とりあえず、

図を書いて整理する

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ってこと。

 

方程式の文章問題では、読んでもわかんなくて、ごっちゃになる時がある。

そういう時も落ち着いて、

問題の情報を「図」とか「絵」でかいてみるんだ。

うだうだ悩んでるよりも、図をかけば1歩進むことになるね。

 

今回の例題を整理してみると、こんな感じかな↓

 

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

Step2. 「求めたいもの」を文字で置く

すべての文章問題ってわけじゃないけど、9割の文章題では、

「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。

この例題では、

それぞれ何m進みましたか?

って聞かれてるね。

 

ということは、

  • 毎分80 mで歩いた距離
  • 毎分120 m で走った距離

を求めればステージクリアだから、こいつらをそれぞれ、

  • 毎分80 mで歩いた距離 → xm
  • 毎分120 m で走った距離 → ym

と置いてみよう。

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これらをさっきの図に書き込むとこうなる↓

 

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

Step3.  1つ目の式をつくる(道のりについて)

まずは1つ目の方程式を作ろう。

連立方程式は「x」と「y」の2つの文字を使ってるから、2つ式が必要だね。

一番簡単なのが、

道のりに関する式だ。

 

さっき描いた図をみるとわかるけど、

「毎分80mの速さで歩いた距離」と「毎分120 mで走った距離」を足すと800mになるはずだね。

 

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

つまり、

x + y = 800

という式が作れるはずだ。

 

Step4. 2つ目の式をつくる(時間について)

もう1つは「道のり」じゃなくて「時間」についての等式を作ってみよう。

 

まず「Aさんが家から学校までにかかった時間」を求めてみる。

問題文によると、

10時に出発して10時9分についた

とあるから、到着までの時間は9分だ。

 

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

その「9分」に等しいはずなのが、

  • 歩いた時間
  • 走った時間

の合計。

つまり、

(毎分80 mで歩いた時間)+(毎分120 m で走った時間)= 9分

という式を作ればいいね。

 

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

「道のり・速さ・時間の公式」を使うと、

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(時間) = (道のり)÷(速さ)

だから、「歩いた時間」と「走った時間」はそれぞれ、

  • 歩いた時間 = 歩いた距離 ÷ 歩いた速さ
  • 走った時間 = 走った距離 ÷ 走った速さ

になるね。

だから、

(毎分80 mで歩いた時間)+(毎分120 m で走った時間)= 9分

(歩いた距離 )÷ (歩いた速さ)+ (走った距離) ÷ (走った速さ) = 9分

x ÷ 80 + y ÷ 120 = 9

80分のx + 120分のy = 9

という式ができて、これが2つ目の等式になる。

 

Step5. 連立方程式を解く

最後に連立方程式を解いていこう。

Step4までで求めた連立方程式はこいつら↓

  • x + y = 800
  • 80分のx + 120分のy = 9

 

なんと、まさしく分数を含む連立方程式

この手の問題は、

分数を消し去すことから始めよう。

 

分数が含まれているのは2つ目の式で、分数の分母は

  • 80
  • 120

の2つ。

こいつらの最小公倍数は240だから、240を両辺にかけてやると、次のようになる。

3x + 2y = 9 × 240

 

あとは加減法で解くだけ。

  • x + y = 800
  • 3x + 2y = 9 × 240

 

1つ目の式を2倍して、2つ目の式から引いてやると、

3x + 2y = 9 × 240
– ) 2x + 2y = 800 × 2
—————————–
x = 9 × 240 – 800×2

x = 560

と、xが出てくるはず。

 

このxを1つ目の式の

x + y = 800

に代入すると、

560 + y = 800

y = 240

と、yの値まで出てきたよ。

 

ここで冷静になって、xとyが何を表しているか考えると、

  • 毎分80 mで歩いた距離 → xm
  • 毎分120 m で走った距離 → ym

だったね。

ということで、この問題の答えは、

歩いた距離は560 m、 走った距離は240 m

になるんだ。

つまり、Aさんは歩いた距離が長くて、最後に少し走っただけになるね。

 

連立方程式の文章問題は図をかこう!とりあえず

こんな感じで、道のり・速さの文章題も情報を整理すれば大丈夫。

あとは「道のり・速さ・時間」の公式を理解して、それを使えば解けるはずだ。

これさえできれば、どんな速さの応用問題でも大丈夫。

「ちょっと連立方程式の解き方が危ういな・・・・」

と思ったら、

を復習してみよう。

 

そんじゃねー

Ken

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