【連立方程式の利用】速さ・道のり・時間の文章問題の解き方

連立方程式の文章問題が苦手・・・!

中学生の連立方程式で厄介なのは解き方よりもやっぱり、

文章問題

だよね。

いわゆる連立方程式の利用っていう単元だ。

中でもよく狙われやすい文章問題は、

道のり速さ時間に関する問題だね。

LINEでもこの道のり・速さの問題を教えてほしいっていう要望があったから記事で解説してみることにしたよ。

 

 

連立方程式を使った「道のり・速さ・時間」に関する文章問題

例えば、次のような問題だね。

 

 

この問題は次の3ステップで解けるね。

 

Step1. 図をかいてみる

まずはやってほしいのが、一旦、とりあえず、

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図を書いて情報を整理してみる

ってことだ。

方程式の文章問題では、1回文章を読んでも何言ってるのかわかんなくて、頭の中でごちゃごちゃになる時がある。

そういう時も落ち着いて、問題の情報を図とか絵とかに書き出してみるといいんだ。

うだうだ悩んでるよりも、図を書いて整理した方が解決に1歩進むことになるね。

 

今回の例題の状況を整理してみると、こんな感じの図がかけるかな↓

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

 

Step2. 求めたいものを文字で置く

すべての方程式の文章問題ってわけじゃないけど、大体9割ぐらいの問題では、

問題で求めたいものを文字でおくと解けるよ。

この例題では、

それぞれ何m進みましたか?

って聞かれてるね。ということは、

  • 毎分80 mで歩いた距離
  • 毎分120 m で走った距離

を求めれば問題クリアになるから、こいつらをそれぞれ、

  • 毎分80 mで歩いた距離 → xm
  • 毎分120 m で走った距離 → ym

と置いてみよう。

連立方程式 文章問題 速さ 道のり
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この情報をさっきの図に書き込んでやるとこうなる↓

 

 

Step3. 1つ目の式をつくる(道のりについて)

まずは一つ目の方程式を作っていこう。

連立方程式はxとyの2つの文字を使っちゃってるから、2つの式が必要だね。

一番簡単なのが、道のりに関する式だ。

 

Step 1で書いた図をみるとわかるけど、毎分80mの速さで歩いた距離と、毎分120 mで走った距離を足すと、800mなるはずだね。

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

つまり、

x + y = 800

という1つ目の式が作れるはずだ。

 

Step4. 2つ目の式をつくる(時間について)

もう1つは「道のり」じゃなくて「時間」に関する等式を作ってみよう。

 

まずAさんが家から学校までにかかった時間を求めてみる。

問題文によると、

10時に出発して10時9分についた

って書いてあるから、到着までにかかった時間は9分だね。

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

その9分という時間の長さに等しいはずなのが、

  • 歩いた時間
  • 走った時間

の合計。つまり、

(毎分80 mで歩いた時間)+(毎分120 m で走った時間)= 9分

という式を作ればいいね。

連立方程式 文章問題 速さ 道のり

道のり・速さ・時間の公式を使うと、

(時間) = (道のり)÷(速さ)

だから、歩いた時と走った時にかかった時間はそれぞれ、

  • 歩いた時間 = 歩いた距離 ÷ 歩いた速さ
  • 走った時間 = 走った距離 ÷ 走った速さ

になるね。だから、

(毎分80 mで歩いた時間)+(毎分120 m で走った時間)= 9分

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(歩いた距離 )÷ (歩いた速さ)+ (走った距離) ÷ (走った速さ) = 9分

x ÷ 80 + y ÷ 120 = 9

80分のx + 120分のy = 9

という式ができるはずだ。

これが2つ目の等式だね。

 

Step5. 連立方程式を解く

最後に連立方程式を解いていこう。

Step4までで求めてきた連立方程式は次のような感じだったね。

  • x + y = 800
  • 80分のx + 120分のy = 9

 

これはまさしく分数を含む連立方程式

まずこの手の問題は、分数を消し去ることから始めよう。

 

分数が含まれているのは2つ目の式で、この式に含まれている分数の分母は

  • 80
  • 120

の2つ。

こいつらの最小公倍数は240だから、240を両辺にかけてやると、次のようになる。

3x + 2y = 9 × 240

 

あとは加減法で解くだけ。

  • x + y = 800
  • 3x + 2y = 9 × 240

 

1つ目の式を2倍して、2つ目の式から引いてやると、

3x + 2y = 9 × 240
– ) 2x + 2y = 800 × 2
—————————–
x = 9 × 240 – 800×2

x = 560

という答えが出てくるはず。

 

このxを1つ目の式の

x + y = 800

に代入すると、

560 + y = 800

y = 240

と、yの値まで出てきたね。

 

ここで冷静になって、xとyが何を表しているか考えてみると、

  • 毎分80 mで歩いた距離 → xm
  • 毎分120 m で走った距離 → ym

だったね。

ということで、この問題の答えは、

歩いた距離は560 m、 走った距離は240 m

になるね。

つまり、Aさんは歩いた距離が長くてサボりすぎて、ちょっと最後に走っただけってことになるね。

 

連立方程式の文章問題は図を書こう!とりあえず

こんな感じでまずは連立方程式の速さ、道のり速さの問題も情報を整理できれば大丈夫。

あとは、「道のり・速さ・時間」の公式を理解して、それを使えば解けるはずだ。

これさえできれば、どんな速さの応用問題でも大丈夫。

「ちょっと連立方程式の解き方が危ういな・・・・」

と思ったら、

の解き方を復習してみよう。

 

そんじゃねー

Ken

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