テストに出やすい!ルートが自然数となる自然数の求め方

えっ、ルートが自然数になる・・・だと?

ルート関係の問題でよく出てくるのはこんな感じの問題。

 

 

ルートが自然数になるような自然数を求めよ

という、ちょっとよく言っていることがわからないような問題で、一見難しそうに見える。

ただ、この問題も解きほぐしてやればすぐに解けるようになるよ。

 

ルートが自然数となる自然数の求め方

この問題の解き方のコツは、

ルートの中身が「何かの2乗」になればルートが自然数になる

ということを知っておけば解けるね。

 

 

なぜなら、ルートの中身が何かの2乗ならルートが外れて自然数になるからだね。例えば、ルートの5の2乗だったら、ルートが外れて自然数5になるはず。


 

例題ではルートの中身が「54a」だったから、この「54a」が何かの数字を2乗になるように、aの値を調整すればいいということになる。

 

ルートの中身を素因数分解

まずはルートの中身の数字を素因数分解してみよう。

例題では、ルートの中身が

54a

だったから、aの前についている54を素因数分解してみよう。

詳しくは「素数分解のやり方」を参考にしてほしいけど、素因数分解してやると、

54 = 2 × 3³

になるね。

 

 

素因数の指数が偶数になるようにaを定める

素因数分解できたら、素因数の指数に注目しよう。

指数とは、

数字についている乗数のこと

だね?

 

例えば3の2乗なら「2」が指数ということになる。

例題では、


54 = 2 × 3³

に素因数分解されたね?

 

それぞれの因数の「2」と「3」の指数をみてみると、

  • 2の指数=1
  • 3の指数=3

だ。つまり、どの因数の指数も「奇数」ってこと。

 

 

ルートが自然数になるのは、

ルートの中身が「何かの数字の2乗」になるとき

だから、この場合だと素因数の「2」と「3」の指数がぜーんぶ偶数にならなければいけないね。

指数が偶数になるパターンは複数考えられるけど、最小で済むのが、

「2」と「3」を1個ずつかける

という選択肢。

 

これによって、「54 = 2 × 3³」が

2² × 3⁴

になって、因数の指数がすべて偶数になるね。

 

 

だから、54にかけるaは「 2と3を1個ずつかける」

6

が正解だ。aを6としてやれば、√54aは18という自然数になるはずだ。

 

 

こんな感じで「ルートが自然数となる自然数の求め方」の問題は、ルートの問題と見せかけて、

じつは素因数分解の応用問題だったわけだ。

割とテストに出てくるからよーく復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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