3分でわかる!ルートが自然数となる自然数の求め方

えっ、ルートが自然数になる・・・だと?

ルート関係でよく出てくるのはこの問題。

 

 

一度解きほぐせばすぐに解けるようになるよ。

 

ルートが自然数となる自然数の求め方

知っておきたいのは、

ルートの中身が「何かの2乗」になれば自然数になること。

 

 

ルートの中身が何かの2乗なら、ルートが外れて自然数になるよね。

例えば、$\sqrt{5}$の2乗だったら、ルートが外れて自然数「5」になるはず。

 

例題ではルートの中身が「$54a$」だったから、「$54a$」が何かの数字を2乗になるように、$a$を調整すればいい。

 

ルートの中身を素因数分解

ルートの中身を素因数分解しよう。


例題では、ルートの中身が

$54a$

だったから、$a$の前にある54を素因数分解しよう。

 

 

詳しくは「素数分解のやり方」で復習してみてね。

素因数分解すると、

$$54 = 2 × 3³$$

になるね。

 

素因数の指数が偶数になるように$a$を定める

素因数の指数に注目しよう。

指数とは、

数字についている乗数のこと

だ。

 

 

例えば「$3^2$」なら「2」が指数ってこと。

例題では54が

$$2 × 3³$$


に素因数分解できた。

 

それぞれの因数の「2」と「3」の指数をみると、

  • 2の指数=1
  • 3の指数=3

になってる。

どの因数の指数も「奇数」ってことだ。

 

 

ルートが自然数になるのは、

ルートの中身が「何かの2乗」になるとき

だ。

この場合だと「2」と「3」の指数がぜんぶ偶数になるときさ。

 

指数が偶数になるパターンは複数考えられるけど、最小の労力で済むのが、

「2」と「3」を1つずつかける方法。

 

これによって、「$54 = 2 × 3³$」が

$$2² × 3⁴$$

になって、因数の指数がすべて偶数になるね。

 

 

だから、54にかける$a$は「 2と3を1個ずつかけた」6が正解だ。

 

$a$を6とすれば、$\sqrt{54a}$は18という自然数になるはず。

 

 

こんな感じでルートの問題と見せかけて、

素因数分解の応用問題だったわけだ。

テストに出やすいからよく復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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