【二次方程式の利用】動点の文章問題の解き方の4つのステップ

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二次方程式の利用の動点の問題??

こんにちは!この記事をかいてるKenだよ。布団、押し込んだね。

 

二次方程式の利用ではいろいろ文章問題をとくよね。

整数の問題とか、長方形の面積を求める問題とか、まじありすぎる。

そんな中、テストにでてくるとヤッカイなのが、

動点の文章問題

だ。

 

動点の問題とは、

「ある点」が時間がたつにつれて辺上を動く問題のことね。

ずっと前に「一次関数の利用の問題」でやった問題といっしょ。

あれがもっかい中3数学で登場するわけ。

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テストにでやすいから苦手をつぶしておこう。

 

 

二次方程式の利用の「動点」の文章問題の解き方の4ステップ

動点の文章題の解き方を紹介しよう。

つぎの練習問題をといてみようね。

 

練習問題

AB = 10cm、BC = 30cmの直角三角形ABCがあります。点Pは辺AB上をAからスタートして1秒間に1cmの速さでBまで動きます。また、点QはBC上をBからスタートして1秒間に2cmの速さでCまで動きます。

PとQが同時に動きはじめるとき、△PBQの面積が16cm^2になるのは何秒後になりますか??

二次方程式の利用 文章問題 動点

 

解き方は他の二次方程式の文章題といっしょ。

4ステップでいけるんだ。

  1. 求めたいものを文字とおく
  2. 二次方程式をたてる
  3. 二次方程式を解く
  4. 解のチェック

 

 

Step1. 求めたいものを文字とおく

方程式の文章題の解き方はどれもおなじ。

そう。

「文章題で求めたいもの」を文字でおけばいいんだったね??

xでもyでもzでも好きな文字でおいてくれ。

 

例の文章問題では、

△PBQの面積が16 cm^2になるときは何秒後になるか??

を求めたかったね。

だから、2点P、Qがスタートしてからの時間をx秒としてみようか。

 

二次方程式の利用 動点

 

これが第1ステップ。

 

 

Step2. 二次方程式をつくる

文章問題をもとに二次方程式をつくってみよう。

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文章題のなかの、

○○が△△に等しいとき

っていう文をみつけて、それをもとに、

○○ = △△

っていう方程式をつくればいいのさ。

 

二次方程式の利用 面積

 

さっきの練習問題をみてみて。

△PBQの面積が16 cm^2になるとき

っていう文がみつけられたかな??

つまり、この二次方程式の動点の問題では、

△PBQの面積 = 16cm^2

っていう2次方程式をつくればいいわけだ。

 

それじゃあ、x秒後の△PBQの面積を計算してみよう。

 

二次方程式の利用 動点

 

三角形の面積の求め方は、

底辺×高さ÷2

だ。

 

三角形の面積の求め方 公式

 

ってことは、△PBQの面積を求めるには、

  • PB(高さ)
  • BQ(底辺)

の2つがわかってればいいね。

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二次方程式の利用 動点

 

点P、Qはそれぞれ、

  • 点P : 毎秒1cm
  • 点Q : 毎秒2cm

動く。

ってことは、x秒後は、それぞれ、スタート地点から、

  • 点P : x cm
  • 点Q : 2x cm

すすんでるはずだね。

 

二次方程式の利用 動点

 

 

だから、直角三角形PBQの底辺と高さの辺たちは、

  • PB (高さ)= AB – AP = 10 -x
  • BQ(底辺) = 2x

になってる。

 

二次方程式の利用 動点

 

ってことは、スタートからx秒後の△PBQの面積は、

(底辺)×(高さ)÷ 2
= BQ × PB ÷ 2
= 2x (10-x)÷2
= x (10-x)

になるね。

 

二次方程式の利用 動点

 

この文章題では△PBQの面積が「16cm^2」になればいいんだったね??

ってことは、

△PBQの面積 = 16

x (10-x) = 16

っていう二次方程式ができるはずだ。

 

二次方程式の利用 動点

 

 

 

Step3. 二次方程式を解く

さっきの二次方程式を解いてみよう。

因数分解をつかってもいいし、解の公式をつかってもいい。

とりあえず、2次方程式の解を求めてね。

 

練習問題の二次方程式は、

x (10-x) = 16

だ。

左辺の()を分配法則で展開してやると、

x (10-x) = 16

10x – x^2 = 16

になるね。

 

 

二次方程式の利用 動点

 

移項して整理してやると、

x^2 – 10x + 16 = 0

になるんだ。

 

二次方程式の利用 動点

 

左辺の、

x^2 – 10x + 16

はどうやら因数分解の公式がつかえそうだ。

  • かけたら16
  • たしたら-10

になる2つの数を考えてみると・・・・

 

二次方程式の利用 動点

 

は!

  • -8
  • -2

ならこの条件にあいそう!

 

ってことで、因数分解の公式の、

x^2 +(a+b) x + ab = (x + a) (x +b)

 

因数分解 公式 覚え方

 

で因数分解してやると、

x^2 – 10x + 16
= x^2 (-8-2)x + (-8)×(-2)
= (x -8) (x-2)

になるね。

 

二次方程式の利用 動点

 

だから、練習問題の二次方程式は、

x^2 – 10x + 16 = 0

(x -8) (x-2) = 0

になる。

 

二次方程式の利用 動点

 

( x – 8) (x – 2)が0になってるってことは、どっちかが0なはず。

よって、

  • x-8 = 0
  • x -2 = 0

のどちらかが成り立つはずだね??

 

二次方程式の利用 動点

 

ってことで、2つの一次方程式をといてやると、

  • x = 8
  • x = 2

っていう解が2つでてくるね。

 

二次方程式の利用 動点

 

 

Step4. 解をチェックする

やった!これで二次方程式解けたー!おわたーー

ってなるのはちょっとはやい。

 

じつは、二次方程式の文章問題では最後に、

解の吟味

をしなきゃいけないんだ。

吟味ってつまり、解が文章題にそってるか確認することだ。

これをしないと、わけのわからん答えをかいちゃうからね。

 

練習問題でも解を確認しよう。

二次方程式の解は、

  • x = 8
  • x = 2

だったね。

つまり、PとQがスタートしてから「2秒後」と「8秒後」に面積が16cm^2になるらしい。

 

この2つのxはきちんとxの変域内におさまってるから問題なさそうだ。

だって、点PはBまでしか動けないからxの変域は、

0 ≦ x ≦ 10

だもんね。

点Pは1秒間に1cmすすむから、10秒で10cmすすむ。

つまり、終点のBに到着しちゃうのさ。

だから、xが10より大きくならないってわけ。

 

二次方程式の利用 動点

 

今回の2つの解は10以下におさまってるね。問題ない!

よって、まとめると、

△PBQの面積が16cm^2になるときはスタートしてから2秒後と8秒後だね^^

 

 

まとめ:二次方程式の利用の文章題でも動点も大丈夫!!

二次方程式の利用の動点も大丈夫だ。

落ち着いて、

  1. 求めたいものを文字とおく
  2. 二次方程式をたてる
  3. 二次方程式を解く
  4. 解のチェック

の4ステップで解けばいいよ。

ただ、

解が変域内におさまってるか??

は必ず確認してね。

そんじゃねー

Ken

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4 件の質問

  • >連続する〜ってなんかコツってありますか?

    ある整数を文字でおくことかな。
    混乱したら具体的な数字で一回置いてみて考え直すといいよ

  • 1辺が12cmの正方形ABCDで、点Pは辺AB上をAからBまで、点Qは辺BC上をBからcまで、どちらも毎秒1cmの速さで動く。点P,QがそれぞれA,Bを同時に出発するとき、△PQDの面積が56㎠になるのは、出発してから何秒後ですか。
    今までの動点の問題と少し違ってよくわかりません。助けてください。

  • >1辺が12cmの正方形ABCDで、点Pは辺AB上をAからBまで、点Qは辺BC上をBからcまで、どちらも毎秒1cmの速さで動く。
    点P,QがそれぞれA,Bを同時に出発するとき、△PQDの面積が56㎠になるのは、出発してから何秒後ですか。

    まず図を書いて見るといいよ。
    x秒後の△PQDの面積をxで表してあげよう。
    この三角形の面積を普通に求めるとムズイから、
    正方形の面積から3つの直角三角形(APD,PBQ,QCD)の面積を引くといいよ

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