3分でわかる!円周角の定理の逆の証明

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円周角の定理の逆の証明??

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

円周角の定理の逆の証明がかけなくて困っていました。

 

ゆうき先生

円周角の定理の逆を証明してみよう!

かなちゃん

いきなり証明って言われても……

ゆうき先生

いったん分かると便利!

いろんな問題に使えるんだよな。

かなちゃん

円周角の定理の逆って、

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そんなに便利なの?

 

ゆうき先生

まあね。

円の性質の問題では欠かせないよ。

かなちゃん

円周角の定理すら覚えてないのに……

ゆうき先生

そんなときのために!!

円周角の定理をサクッと復習しよう。

 

【円周角の定理】

1つの円で弧の長さが同じなら、円周角も等しい

 

∠ACB=∠APB

 

円周角の定理とは

 

かなちゃん

なるほど!

少し思い出せた!

ゆうき先生

「円周角の定理の逆」はこれをにすればいいの。

つまり、

∠ACB=∠APBならば、

A・ B・C・Pは同じ円周上にあって1つの円ができる

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ってことね。

 

厳密にいうと、こんな感じ↓↓

【円周角の定理の逆】

2点P、 Qが線分ABを基準にして同じ側にあって、

∠APQ = ∠AQB

のとき、

4点ABPQは同じ円周上にある。

 

円周角の定理の逆

 

かなちゃん

ちょっとわかった気がする!

 

ゆうき先生

その調子で、

円周角の定理の逆の証明をしてみようか。

かなちゃん

はい!!

 

3分でわかる!円周角の定理の逆とは??

ゆうき先生

さっそく、

円周角の定理の逆を証明していくよ。

 

かなちゃん

どうやって?

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証明するの?

ゆうき先生

つぎの3つのパターンで、

角度を比べるんだ。

  1. 点 Pが円の内側にある
  2. 点 Pが円の外側にある
  3. 点Pが円周上にある

つぎの円を思い浮かべてみて。

 

点Pが円の内側にあるとき、

∠ADBと∠APBはどっちが大きい?

 

円周角の定理の逆とは

 

 

かなちゃん
見たまんま、∠APBでしょ?

ゆうき先生

そう!

点 Pが円の外にあるときは?

 

円周角の定理の逆とは

 

かなちゃん
さっきの逆!

∠ADBの方が大きい!

ゆうき先生

そうだね!

今わかってることを書いてみよう!

かなちゃん

点Pは円の内側になると、

∠ADB<∠APB

になって、

点Pが円の外側になら、

∠ADB>∠APB

 

円周角の定理の逆とは

 

 

ゆうき先生

おっ、いい感じだね!

かなちゃん

点Pが円上のとき、

∠ADB=∠APB

じゃん!

 

円周角の定理の逆とは

 

ゆうき先生

そういうこと!

点 Pが円の内側に入っちゃったり、

円の外側に出ちゃったりすると、

角度は等しくなくなっちゃうよね。

かなちゃん

はい!

ゆうき先生

点 Pが円周上にあるときだけ、

2つの角度が等しくなるってわけ。

かなちゃん

なるほど!

ってことは、これが証明なんだ。

 

ゆうき先生

そう。

円周角の定理の逆の証明はこれでok。

かなちゃん

いつもの証明よりは楽だったかも^^

 

 

まとめ:円周角の定理の逆の証明はむずい?!

ゆうき先生

円周角の定理の逆の証明はどうだったかな?

3つの円のパターンを比較すればよかったね。

  1. 点 Pが円の内側にある
  2. 点 Pが円の外側にある
  3. 点Pが円周上にある

かなちゃん

図を見れば当たり前のことだったなあ

ゆうき先生

いうねえ

かなちゃん

やってみると分かりやすかった!!

ゆうき先生
そう!

まずはあきらめず挑戦してみて!

no name

うす!


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