【一次関数の利用】動点の問題の解き方がわかる3ステップ

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一次関数の利用で動点の問題がむずい??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。

 

一次関数の利用の問題ってムズい。

中でも、

動点の問題

が一番ヤッカイなんだ。たとえば、つぎのような問題だね。

 

例題

タテの長さが4cm、横の長さが5cmの長方形ABCDの周上を、点Pは毎秒1cmの速さで、AからB、Cを通ってDまで移動します。

一次関数の利用 問題 動点

PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm^2とするとき、yはxの変化にともなってどう変化するのか説明しなさい。

 

今日はこの動点の問題をわかりやすく解説していくよ。

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よかったら参考にしてみてね^_^

 

 

一次関数の利用の「動点」問題がわかる3つのステップ

問題のポイントは、

三角形の高さだけが変化していること

だ。

逆に、底辺はどんなに時が経っても動かない。

高さの変化をトラッキングすれば面積が計算できそうだね。

 

例題でいうと、

△APDの底辺ADは固定だね?

だって、AとDは動かないからさ。

Pの移動によって高さだけ変わっていくんだ。

一次関数の利用 動点 解き方

しかも、高さの変化は点が辺を移動するたびに変わっていくよ。

例題でいうと、動点Pが、

  • 辺AB
  • 辺BC
  • 辺CD

にそれぞれあるときの3パターンだね。

今日はこの3つのフェーズごとに解説していくよ。

 

 

フェーズ1.  点Pが辺AB上を動いているとき

PがAB上を動いている場合だ。

このとき、△APDの高さは、

APの長さ

だよね??

1次関数の利用 動点 問題
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Pは1秒間にx cm動く。

APの長さはx秒後に「x cm」になっているはずだ。

よって、動点Pが辺AB上にあるとき(0 ≦ x ≦4)のとき、

△APDの面積は、

△APD =  底辺 × 高さ × 1/2
=  5  × x     × 1/2
=  5/2 x

になるね。

ここまでの△APDの面積yの変化をグラフにしてみると、

こんな感じになる ↓↓

1次関数の利用 動点 問題

 

 

パターン2. 動点Pが辺BC上にある場合

つぎは点Pが辺BCにたどり着いたケース。

一次関数の利用 動点 問題

まだまだ動点Pの旅は続くんだ。辛いね。

 

PがBC上にあるときの△APDの高さって、

点Pから辺ADにおろした垂線になるよね?

垂線とADの交点をHとすればPHが高さってことだ。

一次関数の利用 動点 問題

じつはこの高さって、

動点Pが左らへんにいても、

一次関数の利用 動点

真ん中らへんにいても、

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一次関数の利用 動点 問題

右のほうにいても、

一次関数の利用 動点 問題

変わらないんだ!

ぜんぶ辺AB・DCと同じ長さ(4cm)になるはず。

 

よって、動点Pが辺BC上にあるとき(4 ≦ x ≦ 9)、

1次関数の利用 動点 問題

△APD の面積 =  底辺AD × 高さ × 1/2
=   5   × 4  × 1/2
=   10[cm^2]

になるね。

つまり、動点PがBC上にあるとき、

△APDの面積はつねに一定というわけさ。

変数xがはいっていないからね。

 

ここまで△APDの面積の変化をグラフにあらわすと、

こうなるね↓↓

1次関数の利用 動点

 

 

フェーズ3. 動点Pが辺CDにある場合

いよいよ最後のフェーズ。

Pが辺CDにさしかかった場合さ。

一次関数の利用 動点 問題

このときの△APDの高さって、

線分DPだよね?

一次関数の利用 動点

x秒後のDPの長さをだしてやれば、

△APDの面積yを式であらわせるってこさ。

 

このときの高さDPは、

「3つの辺(AB・BC・CD)」 –  「 Pが動いた距離」

で計算できるよ。

一次関数の利用 動点

(3つの辺の長さ)= 4 + 5 + 4
= 13 [cm]

になる。

 

そんで、x秒後に「Pが動いた距離」は、

x [cm]

だね。

一次関数の利用 動点 問題

ってことで、

DPの長さは(3つの辺の長さ)-  (Pが動いた距離)で求めることができるので、

13 – x

になるね。

一次関数の利用 動点

よって、Pが辺CD上を動くとき(9 ≦ x  ≦ 13)、

△APDの面積 = 底辺AD × 高さDP ×    1/2
= 5  × (13-x) × 1/2
= 5/2 (13-x)

となる。

よって、こいつをグラフに表してやると、

こうなるね↓↓

1次関数の利用 動点

△APDの面積yをxであらわすことができて、

それをグラフにすれば完ぺきだ!

テストに出やすい問題だからしっかりおさえておこう^^

 

 

まとめ:一次関数の利用の動点は3つのフェーズにわけるべし

動点の問題はどうだった?

フェーズごとに面積の変化が異なる

ってことさえ押さえておけば十分さ。

あとは、

どの辺が底辺・高さになっているのか??

ということに注意してみてね。

そんじゃねー

Ken

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