【一次関数の利用】動点の問題の解き方がわかる3ステップ

Sponsored Link

一次関数の利用で動点の問題がむずい??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。

 

一次関数の利用の問題ってムズい。

中でも、

動点の問題

が一番ヤッカイなんだ。たとえば、つぎのような問題だね。

 

 

今日はこの動点の問題をわかりやすく解説していくよ。

よかったら参考にしてみてね^_^

 

 

一次関数の利用の「動点」問題がわかる3つのステップ

問題のポイントは、

Sponsored Link

三角形の高さだけが変化していること

だ。

逆に、底辺はどんなに時が経っても動かない。

高さの変化をトラッキングすれば面積が計算できそうだね。

 

例題でいうと、

△APDの底辺ADは固定だね?

だって、AとDは動かないからさ。

Pの移動によって高さだけ変わっていくんだ。

一次関数の利用 動点 解き方

しかも、高さの変化は点が辺を移動するたびに変わっていくよ。

例題でいうと、動点Pが、

  • 辺AB
  • 辺BC
  • 辺CD

にそれぞれあるときの3パターンだね。

今日はこの3つのフェーズごとに解説していくよ。

 

 

フェーズ1. 点Pが辺AB上を動いているとき

PがAB上を動いている場合だ。

このとき、△APDの高さは、

APの長さ

だよね??

1次関数の利用 動点 問題

Pは1秒間にx cm動く。

APの長さはx秒後に「x cm」になっているはずだ。

Sponsored Link

よって、動点Pが辺AB上にあるとき(0 ≦ x ≦4)のとき、

△APDの面積は、

△APD = 底辺 × 高さ × 1/2
= 5 × x × 1/2
= 5/2 x

になるね。

ここまでの△APDの面積yの変化をグラフにしてみると、

こんな感じになる ↓↓

1次関数の利用 動点 問題

 

 

パターン2. 動点Pが辺BC上にある場合

つぎは点Pが辺BCにたどり着いたケース。

一次関数の利用 動点 問題

まだまだ動点Pの旅は続くんだ。辛いね。

 

PがBC上にあるときの△APDの高さって、

点Pから辺ADにおろした垂線になるよね?

垂線とADの交点をHとすればPHが高さってことだ。

一次関数の利用 動点 問題

じつはこの高さって、

動点Pが左らへんにいても、

一次関数の利用 動点

真ん中らへんにいても、

一次関数の利用 動点 問題

右のほうにいても、

Sponsored Link
一次関数の利用 動点 問題

変わらないんだ!

ぜんぶ辺AB・DCと同じ長さ(4cm)になるはず。

 

よって、動点Pが辺BC上にあるとき(4 ≦ x ≦ 9)、

1次関数の利用 動点 問題

△APD の面積 = 底辺AD × 高さ × 1/2
= 5 × 4  × 1/2
= 10[cm²]

になるね。

つまり、動点PがBC上にあるとき、

△APDの面積はつねに一定というわけさ。

変数xがはいっていないからね。

 

ここまで△APDの面積の変化をグラフにあらわすと、

こうなるね↓↓

1次関数の利用 動点

 

 

フェーズ3. 動点Pが辺CDにある場合

いよいよ最後のフェーズ。

Pが辺CDにさしかかった場合さ。

一次関数の利用 動点 問題

このときの△APDの高さって、

線分DPだよね?

一次関数の利用 動点

x秒後のDPの長さをだしてやれば、

△APDの面積yを式であらわせるってこさ。

 

このときの高さDPは、

「3つの辺(AB・BC・CD)」 – 「 Pが動いた距離」

で計算できるよ。

一次関数の利用 動点

(3つの辺の長さ)= 4 + 5 + 4
= 13 [cm]

になる。

 

そんで、x秒後に「Pが動いた距離」は、

x [cm]

だね。

一次関数の利用 動点 問題

ってことで、

DPの長さは(3つの辺の長さ)- (Pが動いた距離)で求めることができるので、

13 – x

になるね。

一次関数の利用 動点

よって、Pが辺CD上を動くとき(9 ≦ x ≦ 13)、

△APDの面積 = 底辺AD × 高さDP × 1/2
= 5 × (13-x) × 1/2
= 5/2 (13-x)

となる。

よって、こいつをグラフに表してやると、

こうなるね↓↓

1次関数の利用 動点

△APDの面積yをxであらわすことができて、

それをグラフにすれば完ぺきだ!

テストに出やすい問題だからしっかりおさえておこう^^

 

 

まとめ:一次関数の利用の動点は3つのフェーズにわけるべし

動点の問題はどうだった?

フェーズごとに面積の変化が異なる

ってことさえ押さえておけば十分さ。

あとは、

どの辺が底辺・高さになっているのか??

ということに注意してみてね。

そんじゃねー

Ken

Sponsored Link

45 件の質問

  • ここの問題とても苦手でしたがとてもわかりやすく少しわかるようになりました!ありがとうございます

  • すごくわかりやすいです!!
    一次関数すごく苦手なので、頑張ります!!

  • 「グラフ上に直線が二本あって交点をP、それでこのPが直線上を動く。△TOPを求めよ。」
    教えてください。

  • >グラフ上に直線が二本あって交点をP、それでこのPが直線上を動く。△TOPを求めよ。

    TとOがなんなのかわからん!

  • 三角形が三角形の中を移動するときの
    一次関数の利用はどうすれば解けますか?
    教えてください!!お願いします。

  • 動点の問題は、点が辺をうつるフェーズごとに図をかいて整理すればいいね

  • >数学はどうしたら得意になりますか?

    数学に限らずだけど、インプットとアウトプットの総量が物を言うね。
    教科書を読んで基礎を習得したら、それを使って問題をたくさん解いてみよう。
    あとは間違えた問題を復習して同じ失敗を二度繰り返さないようにしよう

  • >三角形が三角形の中を移動するときの
    一次関数の利用はどうすれば解けますか?

    パターンが変わっても解き方はだいたい一緒じゃないかな。
    面積が変化の仕方が変わるxの変域をいくつか区切ってやって、それぞれの面積をxで表してみよう

  • なぜ、図を書くやつでxが4になるのはわかるんですけど、10になるのはなぜんなですか?
    教えてください
    それと、なぜ最後13の所が0になるんですか?

  • >なぜ、図を書くやつでxが4になるのはわかるんですけど、10になるのはなぜんなですか?
    教えてください
    それと、なぜ最後13の所が0になるんですか?

    xはPが動いた距離だったよね?
    だから、xが13になるのは点Dに到達した時で、その時は三角形ADPの面積は0だ

  • 点pが辺CD上を頂点Cから頂点Dまで移動するときのXの変域を求めなさい。
    また、このときのxとyの関係を式に表しなさい。
    というのがわかりません。変域まではわかるのですが式になると、、
    (図形は縦6センチ 横が8センチの長方形です。毎秒2センチで動きます。
    ABCDの並びはkenさんが解説したときの並びと一緒です。)
    教えてくれると嬉しいです。

  • >点pが辺CD上を頂点Cから頂点Dまで移動するときのXの変域を求めなさい。
    また、このときのxとyの関係を式に表しなさい。

    xの変域は、xがCに到達するときから、Dにたどり着くまでの時間を変域にすればいいね。
    毎秒2cmで動いてるから単純に辺の長さにはならない点に注意してね

    yは△APDの面積かな?こいつはDPの長さが高さになるから、DPをxで表してみよう!
    ポイントは、Pが進んできた道のりは2xcmだということかな

  • お忙しいところすいません
    追加で質問したいです。答えでは
    y=-80x+80となるのですが
    なぜxの係数がー80になるのですか?

  • >y=-80x+80となるのですが
    なぜxの係数がー80になるのですか?

    xの係数はその時の面積の変化具合によって異なるかな。
    係数がマイナスってことは、時間がたつと面積が小さくなるってことだ

  • ありがとうございました。 お陰で理解できました。
    発展的な問題もガンバリマス!
    またわからないところがあったら宜しくお願い致します。

  • とても分かりやすかったです!!
    授業で全然分からなくて悩んでいたところです。ありがとうございます

  • >三角形でなく、四角形の動点の問題がわからないです

    基本は一緒だね!
    四角形だと2つの三角形に分けて考えたほうがいいかも

  • ”面積が〇cmになるのは点PがAを出発してから何秒後ですか、すべて答えよ”
    という問題がでたらどう解けばいいですか?

  • >”面積が〇cmになるのは点PがAを出発してから何秒後ですか、すべて答えよ”
    という問題がでたらどう解けばいいですか?

    面積がyだとしたら、その〇を一次関数のyに代入して、
    その時のxを求めればいいね

  • >動く点Pの、台形バージョンは、どうやって解くことができますか?

    台形でも基本は同じ。
    三角形の面積は「底辺x高さ」で求められるから、
    x秒後の底辺と高さをxで表せばいいんだね!

  • >テストの時のアドバイスを教えてください!

    難しい問題に時間を取られないことも大事。
    まずは確実に点が取れる基礎問題をミスなくこなしてから、応用問題に取り組むといいよ

  • 今回は三角形だったのですが問題で2点P,Qの動く台形が出て、台形の場合はどう解けばいいでしょうか?

  • 無料で勉強の質問をする!