【中学数学】折り返した図形の角度を求める問題の2つのコツ

図形が折り返しちゃってるんだけど・・・?

中学数学では色々な図形の角度を求める問題が出てくるけど、中でも厄介なのが

図形が折られちゃっているパターンだ。

例えばこんな感じの問題↓

じつは、図形の折り返しの角度を求める問題は次の2つのコツさえ知っていれば解けるようになるよ。

 

コツ1. 折り返しても長さ・角度はそのまま

図形を折り返ししても、

元の図形の長さや角度は変わらない

ということが一番大原則かな。

つまり、

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折る前の図形

折られて移動した図形

は全く同じってことだね。

 

たとえば、この普通の三角形を

こんな感じでおったら、

こうなって、

AとBはまったく同じ三角形ってわけ。

業界用語でいうと、この2つの図形は「合同」といえるね。

 

したがって、合同であることから、

折り返して移動しても図形の長さや角度は変わらない、と言えるんだね。

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なぜなら、合同な図形は対応する角度、

 

 

辺の長さがそれぞれ等しいっていう性質があるからだ。

 

 

ここで例題の1つ目の図形を見てみよう。

 

 

この問題ではここが折り目になっていて、

この元の図形が左上に移動したわけだ。

折る前の図形(点線の図形)と移動した後の実線の図形は合同。

つまり、長さや角度はそのままだから、次のように角度がすでにわかってるところがあるね。

 

だからこの左上の角度は90度。

そして、三角形の内角の和は180度だから、180から90と32を引いて、

 

180 – 90 – 32

= 58

となって、こいつが残りの内角で58度。

とわかって、更に対頂角を使って、小さい三角形の内角の1つも58度。

三角形の内角の和は180で、一個が直角90度だから、残りは32度。

 

で、もう一回小さいな三角形で対頂角の性質を使って、

 

ここが90度だから三角形の外角の性質を使って

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90 + 32

=122

 

で、xは122度はず。

こんな感じで、

折り返しても長さや角度が変わらない

と知っておけば折り返しの図形の問題も解けるはずだよ。

 

その2.  折り目は角の二等分線

さっきのことを応用してやると、図形の折り目は「角の二等分線」になってるはずだ。

なぜなら、折る前と折った後の図形が合同だからだね。

 

例えば、さっきの例題の2つ目の図形を見てみよう。

この図形は2箇所で折られていて、2つ折り目がついているね。

ここで折り目が角の二等分線であることを使うと、

折り目を挟んでいる角度が等しい

ってことになる。

それぞれa、bと置いてやると、

2a + 2b + 40 = 180

っていう方程式が作れるね。

これをa + b について解いてあげると、

2a + 2b + 40 = 180

a + b  = 70

って出てくる。

 

この問題ではラッキーなことに、

角度 xはa とbを足したものと、それに40度を加えたものだから、

「a + b + 40」がxになるはずだね。

ってことで、「a + b + 40」を計算してみると、

a + b + 40

=70 + 40

= 110

と出てくる。

つまり、xは110度ってわけ。

 

こんな感じで、図形を折り返している角度の問題は、

  1. 折り返しても角度や長さは同じ
  2. 折り目は角の二等分線である

っていう2つをおさえて問題を解いていこう。

 

そんじゃねー

Ken

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