二次関数の変域を求める問題の解き方の3つのコツ

二次関数の変域を求める問題って??

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

二次関数の変域の問題に出会いました。

 

二次関数y=ax2放物線

 

 

二次関数 変域の求め方

 

かなちゃん
うっわ・・・・

二次関数の変域・・・・?

変域って、

聞いたことあるな。。

ゆうき先生
あぁ、

一次関数の変域の問題

でてきたもんね。

かなちゃん
そう!

でも、

今回は2次関数。。

なんか違う気が・・・

ゆうき先生

おっ、

いいところに気づいた!

二次関数の変域のナゾ

を解き明かしていこう!

 

 

一次関数と二次関数の変域の違うところ?

ゆうき先生

一次関数の変域って覚えてる?

かなちゃん

わ、わすれた!!

ゆうき先生

一次関数では、

yの最小値・最大値は

xの変域の端っこ

だったんだったね。

くわしくは、

1次関数の変域の求め方

をよんでみて。

かなちゃん

二次関数の変域は違うの?

ゆうき先生

そう!

yの最大・最小値が

xの変域の端にならないことがある!!

かなちゃん

へっ!?

なんで??

ゆうき先生

それは、

グラフの形に秘密がある。

たとえば、

この二次関数のグラフ

 

放物線 頂点 軸

 

かなちゃん

y軸に左右対称だ!

ゆうき先生

1次関数のグラフとの違い

分かったかな?

かなちゃん

はい!

このグラフだと、

yが0より小さくなること

はないですよね!

放物線 頂点 軸
ゆうき先生

そう!

じゃあ、

比例定数の正負が

グラフにどう影響あたえる??

かなちゃん

一次関数だと、

比例定数の正負によって、

右上がり

右下がりだった!

 

二次関数 変域

 

ゆうき先生

うん。

じゃあ、二次関数はというと、

↓を見比べてみて!!

 

二次関数 変域

 

かなちゃん

yの変域が特殊。

0で一番小さいときと、

0が一番大きいときがある!!

ゆうき先生

よく気が付いた!

 

かなちゃん
やったね^^

 

 

二次関数の変域の問題の求め方3つのコツ

ゆうき先生

こっから本番!

練習問題をといてみよう。

 

二次関数 変域の求め方

 

かなちゃん
うす!!

 

 

コツ1. 「比例定数aの正負の確認」

ゆうき先生

y=x²

定数aは正負どっち?

かなちゃん

aは1!

ってことは、

「正」だ!

 

二次関数 変域

 

ゆうき先生

そう!

簡単でも確認は大事

 

 

 

コツ2. 「xの変域に0が入るか

ゆうき先生
2つめのコツは、

xの変域に、

0が入るかどうか

を確認すること。

 

これ、大事!!

なんでかって、グラフを見て!

 

二次関数 変域

 

二次関数 変域

かなちゃん

xの変域に0が入るとやばい。

yの変域の最小が0になる!

ゆうき先生

そう!

さっきの問題の変域、

-24」

には0はいってる??

かなちゃん

入ってる!

 

 

コツ3. 絶対値が大きいXを代入

かなちゃん
どっちを代入かな……

ゆうき先生

絶対値が大きいほう

だよ。

かなちゃん
ちす!

ゆうき先生

念のため確認。

-2と4、

絶対値が大きいのは?

かなちゃん

どっちだっけ・・・・・・

ゆうき先生

絶対値は、

正負関係なく、数字が大きいほど大きい

よ!

かなちゃん

ってことは、

4だ!

ゆうき先生

xの変域に0がふくまれるときは、

絶対値が大きいxを代入する

って覚えよう!

かなちゃん

はい!!

さっそく代入してみます。

絶対値が大きいxは4。

y=x²に代入すると、

4×4=16になる。

yの変域は、

0≦≦16かな!

ゆうき先生
おおおー!

二次関数の変域とけてるじゃん!

かなちゃん

やっっったーあーーー!

 

 

まとめ:二次関数の変域の問題はグラフをかくのが一番楽!

ゆうき先生

二次関数の変域のポイントは、

グラフをかくこと

これにつきるね。

かなちゃん

グラフだと

わかりやすかった!!

ゆうき先生

でしょ??

ここまでをまとめるよ。

【定数aの正負】→【xの変域に0が入るか】→【代入は絶対値が大きいほう】

変域が求められるといいね!

かなちゃん

が、がんばります!

ゆうき先生

練習問題つくったよ!

解いてみよう!

 

かなちゃん

ありがとうございます!

質問する

質問と回答

  • 関数y=x2乗において、xの変域が―3≦x≦1の時、yの変域を求めよの式を教えてください。

  • 二次関数の変域の問題はグラフを書いて方がいいね!
    とくに、xの変域が0をまたぐ問題は要注意

  • 関数y=1/2×2乗のxの変域がa−5≦x≦aのとき、yの変域が0≦y≦8となるような定数aは、どうやったら求められますか?

  • >関数y=1/2×2乗のxの変域がa−5≦x≦aのとき、yの変域が0≦y≦8となるような定数a

    ポイントはこの関数のaが正の数であって、
    なおかつyの最小値が0になってることだね。
    ってことは、xの変域が0をまたいでいるはずだから、
    aは正の数、a-5は負の数であるはずだ。

  • >鉄道の問題

    鉄道の問題は図をかくとわかりやすいよ。
    列車の長さが道のりに与える影響がわかりやくなるよ

  • y=ax²+bx-3がx=2で最大値1をとるとき、a,bの値を求めよってどうすればいいですか??

  • >y=ax²+bx-3がx=2で最大値1をとるとき、a,bの値を求めよってどうすればいいですか??

    x=2で最大値1を取るってことは、
    y=(x-2)2 +1 になるはずだね。これを展開してaとbに当てはまる係数を答えよう

  • 変域に0が入ってるか入ってないかはどうやって分かるんですか?

  • >変域に0が入ってるか入ってないかはどうやって分かるんですか?

    変域の端と端の符号が違うと、0が入ってることになるよ。
    例えば、-1

  • -2<X≦3は0≦y≦18ですが、なぜ-2の所 は<なのに0の所は≦になってるんですか?全く分かりません

  • >-2<X≦3は0≦y≦18ですが、なぜ-2の所 は<なのに0の所は≦になってるんですか?全く分かりません

    =がつかないと、不等号の端っこは範囲に含まないってことになるよ。
    詳しくは「不等号の意味」を読んでみてね

  • y=-4x2乗について、xの変域が-5≦x≦1のとき、yの変域を求めなさい という問題の答えは-100≦y≦0で合ってますか?

  • >y=-4x2乗について、xの変域が-5≦x≦1のとき、yの変域を求めなさい という問題の答えは-100≦y≦0で合ってますか?

    いいんじゃないかな。
    ちゃんと0を最大値にできてるし

  • xとy両方の変域がわかってる時の、aの値の求め方はどうやりますか?

  • >xとy両方の変域がわかってる時の、aの値の求め方はどうやりますか?

    問題にもよると思うけど、おそらく変域からaの正負がわかるかどうかがポイントなんじゃないかな。
    0がyの変域に含まれていたらそこから判断するのかもしれない

  • 関数y=-x2乗について
    xの変域が-3≦x≦aのとき、
    yの変域が-16≦y≦bである。
    a b の値を求めなさい

    この場合はどう解けばいいのでしょうか?

  • >関数y=-x2乗について
    xの変域が-3≦x≦aのとき、
    yの変域が-16≦y≦bである。

    x=-3の時、y=-9だから、この時yは最小値-16にならないことがわかるね。
    ってことは、x=aのとき、y=-16になるはずだ

  • xの変域が ー3 ≦x ≦2 のとき、2つの関数 y=2x+b, y=ax2乗 のy
    の変域は同じになる。このとき、aの値を求めなさい。

    この問題の解き方を教えてください!

  • >xの変域が ー3 ≦x ≦2 のとき、2つの関数 y=2x+b, y=ax2乗 のy
    の変域は同じになる。このとき、aの値を求めなさい。

    ポイントはxの変域が0を挟んでいることだ。
    ってことは、二次関数のyの変域は、最大値か最小値のどちらかが0になるはず。
    多分、2パターン考えられるんじゃないかな

  • 最後の練習問題の【1】①は0小なりイコールy小なりイコール32「0」になるのに次は2小なりイコールy小なりイコール50と「2」になるのですか?

  • >最後の練習問題の【1】①は0小なりイコールy小なりイコール32「0」になるのに次は2小なりイコールy小なりイコール50と「2」になるのですか?

    そうだね。
    この問題のポイントは、xの変域が0をはさんでるかどうかだね。
    はさんでいたら、yの最小値か最大値が0になる

  • かっこ一番
    の2こ目の問題
    右ですり
    50なのに四十になります!
    どうしたらいいか!?

  • >かっこ一番
    の2こ目の問題
    右ですり
    50なのに四十になります!
    どうしたらいいか!?

    計算ミスかもしれないね。
    もう一度x=5を代入してみよう

  • 0≦x≦6 のとき
    y=a x2 (エックスの二乗)
    のa を求める問題がわかりません!教えてください

  • >0≦x≦6 のとき
    y=a x2 (エックスの二乗)
    のa を求める問題がわかりません!教えてください

    aを求めるにはyの変域も必要かな!

  • 関数y=x²において、xの変域が-3≦x≦2のとき、yの変域を求めよ。という問題の解き方を詳しく教えて下さい!

  • >関数y=x²において、xの変域が-3≦x≦2のとき、yの変域を求めよ

    二次関数の変域の問題はトリッキーなのでグラフをかくといいよ。
    この場合、xの変域が0を挟んでるから最小値に注意だね。

  • 最後の問題の「1」の②と「2」の②の0が含まれていない計算は、どう解けばいいのか分からないので教えてください

  • >変域に0が入っていないとどうなるか教えてください

    変域の端っこと端っこを関数の式に代入して、その時のyの値をそのまま変域にしよう。
    念のために図を書いておこう

  • >最後の問題の「1」の②と「2」の②の0が含まれていない計算は、どう解けばいいのか分からないので教えてください

    変域の端っこと端っこを二次関数に代入して、その時のyの値を求めてみよう。
    あとはそのyを使ってyの領域の不等式を作ればいいよ

  • 0を最小にするか最大にするかはどうやって見極めるんですか?

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