折り返した図形の角度を求める2つのコツ

図形が折り返しちゃってるんだけど・・・？

中学数学では「角度を求める問題」が出てくるけど、中でも厄介なのが

図形が折られちゃっているパターンだ。

例えばこんな感じの問題↓

長方形の紙を次のように折りました。角度xを求めなさい

じつは、図形の折り返しの問題もカンタン。

2つのコツを知っていれば解けるようになるよ。

コツ1.  折り返しても「長さ・角度」はそのまま

図形を折り返ししても、

元の図形の「長さ」や「角度」は変わらない

ことが大原則。

つまり、

折る前の図形

と

折られて移動した図形

はまったく同じってことだね。

たとえば、この三角形を

こんな感じでおったら、

こうなって、

AとBはまったく同じ三角形ってわけ。

業界用語でいうと、2つの図形は「合同」といえるね。

合同であることから、

折り返して移動しても「辺の長さ」や「角度」は変わらない、と言えるんだね。

なぜなら、合同な図形は対応する角度、

辺の長さがそれぞれ等しいっていう性質があるからだ。

詳しくは「合同な図形の性質」を復習してみてね。

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ここで1つ目の図形を見てみよう。

ここが折り目になっていて、

右下の四角形（台形）が左上に移動したわけだ。

「折る前の図形」と「移動した実線の図形」は合同。

つまり、長さや角度はそのままだから、角度がすでにわかってるところがあるね。

左上の角度は90度。

そして、三角形の内角の和は180度だから、180から90と32を引いて、

となって、残りの内角で58度。

さらに対頂角を使って、小さい三角形の内角の1つも58度。

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三角形の内角の和は180で、1つが直角90度だから、残りは32度。

で、さらに小さな三角形で対頂角を使う。

あとはミニ三角形で「外角の性質」を使って

で、xは「122度」になるはず。

こんな感じで、

折り返しても長さや角度が変わらない

と知っておけば、折り返しの問題も解けるはずだよ。

その2.  折り目は「角の二等分線」

さっきのことを応用してやると、図形の折り目は「角の二等分線」になってるはずだ。

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なぜなら、折る前と折った後の図形が合同だからだね。

2つ目の例題を見てみよう。

この図形は2箇所で折られていて、折り目が2箇所ついているね。

折り目が「角の二等分線」であることを使うと、

折り目を挟んでいる角度が等しい

ことになる。

それぞれa、bと置いてやると、

2a + 2b + 40 = 180

っていう方程式が作れるね。

「 a + b 」について解いてあげると、

2a + 2b + 40 = 180

a + b  = 70

ってなる。

この問題ではラッキーなことに、

角度 xは「a とbを足したもの」に「40度」を加えたものだ。

よって、「a + b + 40」がxになるはずだね。

ってことで、「a + b + 40」を計算してみると、

と出てくる。

つまり、xは110度ってわけ。

こんな感じで、図形を折り返している角度の問題は、

1. 折り返しても角度や長さは同じ
2. 折り目は角の二等分線である

さえ知っていれば大丈夫。

ガンガン問題を解いていこう。

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruの編集・執筆をしています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いでサイトを始めました。