【中学数学】円錐の「母線の長さ」がわかる2つの求め方

円錐の母線の長さの求め方がわからない！

こんにちは、この記事をかいているKenだよ。肌の手入れは大事だね。

母線の意味ってなんだっけ？？

母線はキミの母ちゃんとはまったく別の話。立体図形の勉強ででてくる1つの数学用語なんだ。

今日はテストで狙われやすい、

円錐の母線の長さの求め方を3つ紹介するね。よかったら参考にしてみてね^^

~もくじ~

1. 母線とは？？
2. 円錐の母線の長さの求め方

 母線とはいったい何者なのか？？

まず「母線の意味」をおさらいしてみよう。

母線とは、

動くと、立体がかける線分のこと

だ。たとえば、むかーしむかし、線分ABというヤツがいたとしよう。

こいつを放っておいたらただの線分でしかないよね。だけど、コイツを円周上に回転させて移動させると、

円柱ができちゃうんだ！！

線分ABは円柱を産んだわけだ。つまり、円柱の母ちゃんになった線分とも呼べるね。

だから、こいつは母線とよばれているよ^^

円錐の場合、線分ABのAを固定して、Bを円に沿って移動させればいいんだ。

だから、円錐の母線はつぎの線分ABになるってことだね。

そんで、

「円錐の母線の長さ」を求める問題はだいたい2つのパターンにわかれるよ^^

1. 「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっている場合
2. 「円錐の半径」と「円錐の高さ」がわかっている場合

せっかくだから、2つの「母線の求め方」をみていこう。

「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの求め方

「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの「母線の求め方」をみていこう。

つぎの例題をときながら解説していくよ。

半径が5cm、側面の中心角が150°の円錐の母線の長さを求めてくれ！

つぎの2ステップでとけちゃうんだ！

Step1. 底面の「円周の長さ」を求めるっ！

底面の「円周の長さ」を計算しちゃおう。

円周の長さの求め方は「直径×円周率」だったよね？？

だから、例題では10π[cm]になるね！

Step2. 母線に関する方程式をたてる！

つぎは「母線の長さ」をxとして方程式をたててみよう。

ここで思い出してほしいのは「扇形の中心角の求め方」。

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【カンタン公式】扇形の中心角の求め方がわかる3つのステップ

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母線をx[cm]としてやると、

2πx × 150/360 = 10π

っていう方程式がたてられるんだ。

なぜなら、「側面の弧の長さ」は「底面の円周の長さ」に等しいからね。

こいつを解いてやると、

x = 12[cm]

って答えがゲットできるね！やった^^

円錐の「半径」と「高さ」がわかっているときの求め方

つぎは、円錐の「半径」と「高さ」がわかっている問題をみていこう。

たとえば、つぎの例題のような感じ。

ここでは、中3数学で勉強する「三平方の定理」をガンガン使っていくよ。これは中1数学の範囲ではないよ^^

つぎの3ステップで母線の長さを求めることができるんだ！

Step1. 円錐を真っ二つに切るっ！

円錐をそこらへんの日本刀で真っ二つに切ってみよう。

頂点で二等分されるように切ってみてね^^

Step2. 円錐の断面図に注目する！

つぎに円錐を切ったあとの断面図に注目してみよう。円錐を頂点で2つに切ってやると、断面は三角形になるはず！

例でいうと、三角形ABCが断面になっているでしょ？？　これでいいんだ！

Step3. 「三平方の定理」で母線の長さを求める！

つぎに、「母線」、「底面の半径」、「円錐の高さ」をふくむ直角三角形をさがそう。例でいうと、

三角形ABOだね。斜辺以外の辺の長さはわかっているよね？？（半径5cm、高さ10cmより）

あとは「三平方の定理」をつかって斜辺の長さを計算してやればいいんだ。

例題で言うと、

母線ABの長さは5√5になるね。

つまり、母線をふくむ直角三角形をさがして、三平方の定理をつかって計算すればいいってことだね！

おめでとう、これで母線の長さを求められたね^_^

まとめ：円錐の母線の長さの求め方はだいたい2つしかない！

この2つのパターン以外にも、

• 円錐の「半径」と「表面積」が与えられた場合
• 円錐の「底面の円周の長さ」と「側面の中心角」が与えられた場合

とかとか色々ある。正直、ちょっと混乱しちゃうよね？？

だけれども、どいつもこいつも結局、さっきの2つの求め方にいきつくんだ。

1. 「円錐の展開図」から母線の長さを求める方法
2. 「円錐の高さ」から母線の長さを求める方法

複雑な問題がだされたら、まずはその問題がどっちのタイプなのか考えてみよう！

どっちかわかったら、紹介した求め方でゆっくり解いてみてね^^

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruの編集・執筆をしています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いでサイトを始めました。