相似比から面積比を求める公式??
やあ、ぺーたーだよ。
中3になると、相似を勉強するよね。
覚えること多くて大変。
相似の証明したり、相似比を求めたり…ほんといろいろ。
中でもよくでてくるのが、
相似比から面積比を求める問題。
むずかしそうにみえるけど、公式さえ分かってれば大丈夫。
面積比は絶対に求められる!
今日はこの面積比の公式を紹介していくよ〜
相似比から面積比を計算できる公式
面積比にはつぎの公式があるよ。
「面積比」は「相似比の2乗」になる
ってやつだ。
たとえば、△ABCと△A’B’C’の相似比が「n:m」だとしよう。
このとき面積比は、
n² : m²
になってるんだ。
せっかくだから、この面積比の公式をつかってみよう。
つぎの2つの三角形をイメージしてみて。
△ABCと△A’B’C’の辺の長さがそれぞれ、
- AB = 3
- BC = 6
- AC = 5
と、
- A’B’ = 6
- B’C’ = 12
- A’C’ = 10
になってるよ。
この2つの三角形の面積比をだしてみよう!
公式なら2ステップで面積比だせちゃうんだ。
- 相似比を求める
- 面積比をだす
Step1. 相似比を求める
まず相似比を出してやろう!
相似比の求め方は覚えてる??
相似な図形同士の、
対応する辺の長さの比
を求めればよかったね??
今回でいうと、辺ABに対応する辺は辺A’B’。
AB=3cm, A’B’=6cmだから、
相似比は、
AB : A’B’
= 3: 6
= 1 :2
になるね。
Step2. 相似比から面積比をだす
相似比が出ちゃえばあとは簡単。
相似比を2乗すれば面積比がでるってわけ。
△ABCと△A’B’C’の相似比は、
1: 2
だったね??
面積比は2乗してやった比の、
1² : 2²
= 1 : 4
になるはず!
おめでとう!
相似比から面積比を計算できちゃったね。
面積比の公式をつかった問題に挑戦!
面積比の公式でもう1つ問題を解いてみよう。
公式はつかっておぼえるのが一番!
つぎの図の△ABCにおいて、AD = 16cm、DB = 4cmで、
△ADEと△ABCは相似です。
- 相似比を求めなさい。
- 面積比を求めなさい。
- △ABC = 50cm²のとき、△ADEの面積を求めなさい。
問1. 「相似比を求めなさい」
まずは相似比を求めるよ。
この場合、対応する辺は分かるかな?
色で分けるとこうなるよ!
この問題では、ADの長さ(16 cm)が分かっているから、
赤色の辺を使って考えてみよう。
ABの長さはわかるかな?
そう、そうだね。
AB
= AD + DB
= 16 + 4 = 20
になってるはず。
AD=16cm、AB=20cmだから、
相似比は…
△ADE : △ABC
= 16 : 20
= 4:5
だ!
問2. 「面積比をもとめよ!」
面積比はさっきの公式で一発!
面積比は相似比の2乗になる
だったよね??
この公式をあてはめると、
面積比
= 4² : 5²
= 16 : 25
になるね。
ってことで、答えは16:25!
問3. 「△ABC = 50cm² のとき、△ADEの面積もとめて」
最後は△ADEの面積だ。
さっきの面積比で求めていくよ。
△ADEの面積がわからないから、x[ cm²] とでもしておこう。
んで、
△ADEの面積:△ABCの面積 = 面積比
っていう比例式をつくってみようぜ。
- 面積比が16:25
- △ADE=x [cm²]
- △ABC=50 [cm²]
だから、比例式は、
△ADEの面積:△ABCの面積 = 16 : 25
x : 50 = 16 : 25
になるね。
比例式の解き方でといてやると、
x : 50 = 16 : 25
25 x = 16×50
x = 32 [cm²]
になる。
つまり、
△ADEの面積は32 [cm²]ってわけ!
まとめ:相似比で面積比の公式をつかえば一発!
相似比で面積比もとめられた??
相似比の2乗が面積比になる
っていう公式さえおぼえてれば怖くない。
面積比を求める問題はきっと大丈夫!
じゃ、またね!
ぺーたー
静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める
台形の対角線が2:5で交わっているときの台形と、中に出来る三角形の比
はどうやって求めますか?
>台形の対角線が2:5で交わっているときの台形と、中に出来る三角形の比
はどうやって求めますか?
まずは対角線でできた三角形は台形を2等分しているよね?
あとは、その二等分でできた三角形がさらに、2:5の面積比になってることを使おう
三角形の面積比で何倍になっているかを求めるには?
>三角形の面積比で何倍になっているかを求めるには?
対応する辺の比を求めよう!
面積はその二乗だ
相似比と面積比、体積比
は違うものですか?
>相似比と面積比、体積比
は違うものですか?
違うね!
相似比は相似な図形同士で対応する辺の長さの比。
面積比は面積の比で、体積比は体積の比だ
gc:AC=3:4より
三角形ACD=3分の4gcd
みたいなものがわかりにくいです(T ^ T)
なんで掛け算…?
>gc:AC=3:4より
三角形ACD=3分の4gcd
みたいなものがわかりにくいです(T ^ T)
これは頂点を共有してる三角形の話かな?
その場合、底辺の長さの比が面積比になるぜ
説明が下手なので分からないかもしれないですが、ワークだとそうゆう感じの問題がでていて、X:50ってなってると思いますが、
他のやつだと例えば、 〇:X=〇:〇
ってなったりしてて、Xを1番前におけばいいのか、2番目におけばいいのかわかりません。一番前に置くと間違ってたりするときがあります。そうゆう時はどうすればいいですか?
>説明が下手なので分からないかもしれないですが、ワークだとそうゆう感じの問題がでていて、X:50ってなってると思いますが、
他のやつだと例えば、 〇:X=〇:〇
ってなったりしてて、Xを1番前におけばいいのか、2番目におけばいいのかわかりません。一番前に置くと間違ってたりするときがあります。そうゆう時はどうすればいいですか?
比の値の順番は、それが対応するように並べればいいよ。
たとえば、aとbを比べた時にbがaの2倍になるときは、aが1だとするとbが2になるはずだから、
a:b=1:2
になるはずだね。aは:の左に置いてるから1も左だ!
相似ではない三角形の辺の比が
1:2.5:1と2:2:3のときの面積比は
どうやって求めますか?
>相似ではない三角形の辺の比が
1:2.5:1と2:2:3のときの面積比は
どうやって求めますか?
相似ではない図形同士の面積比は、実際に面積を計算して比にするしかないね
三角形の平行線の面積比はどうやるのですか
長さが分からない場合の相似比はどうしたらいいですか?
>長さが分からない場合の相似比はどうしたらいいですか?
面積比から相似比を計算してもいいね
相似の証明ってなんぞや?オレ氏(´・ω・`)[マッタクワカラン]
>相似の証明ってなんぞや?オレ氏(´・ω・`)[マッタクワカラン]
相似の証明とは、2つ以上の図形が相似であることを証明すればいいね。
使うのは相似条件だ!
体積が144cm3の円すい「底面に平行な面で割ると底面の円の半径と切り口の半径の比は2:1であったときの体積を求める問題では体積比を使いますか?
>体積が144cm3の円すい「底面に平行な面で割ると底面の円の半径と切り口の半径の比は2:1であったときの体積を求める問題では体積比を使いますか?
相似な立体同士だったら体積比使ってもいいね
最後の三角形の問題の2つに分ける線が3つでその下の台形と1番上の三角形の面積比を求める場合は、、、?
全体の比の合計から上の三角形の比を引いてやればいいね
ペーター何もの????
ペーター男?❓
台形って、何??
質問です。なぜ、こうゆうやり方何ですか?
男だよ〜
台形は上下の2つの辺が平行な四角形やな。
左右の2つはどうだっていいんだ
2つの六角形の相似比が11:13の時、この2つの
六角形の面積比は何:何ですか
教えてください。
相似比の2乗が面積比だよ!
三角形の相似の求め方が分かりません
面積の比の求め方がわかりません。