【中2数学】図形の証明問題を攻略できる7つのコツ

図形の証明問題のコツを知りたい!

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。コーン、最高。

 

図形の証明問題

ってむずかしいよね。

図形の面積を計算する問題とは

ちょっと違うタイプ。

苦手な中学生も多いはずだ。

数学証明 コツ

今日はそんな苦手をなくすために、

【中2数学】図形の証明問題を攻略できる6つのコツ

っていう記事をかいてみたよ。


証明問題のせいで数学が嫌いになりそう、

ってときに参考にしてみてね笑

 

 

数学の証明問題を攻略するための6つのコツ

つぎの例題をときながら解説するよ。

 

 

 

コツ1. 「仮定」と「結論」をみつける!

数学の証明問題でいちばん最初にやることは、

仮定と結論をみつけてやることさ。

 

仮定とは、カンタンにいってしまえば、

問題文であたえられている条件

で、

結論とは、

仮定をつかえば正しいといえること

さ。

 

たとえば、さっきの例題でいうと、


  • AB = DC
  • AB//DC

っていうのが仮定だよ。

 

だって問題文中に、

AB = DC、AB // DCの△ABCと△CDAがあったとします。

ってかいてあるからね。

この問題にかぎっての正しい

って言ってくれてるてることなんだ。

これが仮定だ。

 

それじゃあ、「結論」をさがしてみよう。

結論は問題文でいうところの、

○○を証明しなさい。

の○○にあたるところさ。

つまり、

問題で証明してほしいことが「結論」なのさ。

この例題でいうと、

角ABC = 角CDA

が結論だね。

 

 

 

コツ2. 仮定を図に書き込んでやる!

「仮定」を図に書きこんでみよう!

これをすると、

  • 証明問題を把握しやすくなる
  • 結論までをイメージしやすくなる

っていうメリットがあるよ。

あと、わからなかったときでも、

テスト用紙にがんばった形跡が残って、

先生に「がんばったアピール」ができるね笑

 

たとえば、さっきの例題で、

  • AB = DC
  • AB//DC

が仮定だったよね??

こいつを図に書き込んでやると、


数学 証明問題 コツ

こうなる。

図形の記号を復習してみて^^

 

ただ、「結論」をいっしょに書き込まないでね。

数学 証明問題 コツ

 

「仮定」と「結論」をごちゃまぜにすると混乱するからさ。。

結論も書き込みたいってときは、

色違いのペンでかきこんであげよう。

中2数学 証明問題 コツ

赤ペンとかでね^^

 

 

コツ3. 結論から逆算して証明をイメージする

仮定と結論を整理し終わったら、

結論までの道のりをイメージしよう。

 

証明問題の特徴は、

ゴールが事前にあたえられているってこと。

つまり、逆にいってしまえば、

ゴールがみえているから、そこへの行き方を考えるだけ

ってことになる。

 

いわば、ゴールがみえている迷路みたいなもんさ。

中2数学 証明問題

チーズがあるのはわかってるから、

あとは道順を考えるだけでいいんだ。

 

たとえば、例題の結論である、

角ABC = 角CDA

をゲットする道順を考えてみよう。

 

うーん、

えっと、

そうだなあ。。。

あっ!

△ABCと△CDAが合同である

ってことをいえればゴールできそうじゃね??

数学 証明問題 コツ

だって、

合同な図形の「対応する角はそれぞれ等しい」

ってことを使えば、

角ABC = 角CDA

がいえそうだからね。

 

 

コツ4. 根拠となることがらをたくさん覚える!

結論までをイメージするためには、

「根拠となることがら」を覚えている必要があるんだ。

多ければ多いほどいいね。

 

たとえば、さっきの例題でも、

合同な図形の性質

を暗記していないとゴールまでイメージできなかった。

「合同な図形の性質」以外にもたとえば、

・・・・・・・・

などなど、図形の性質や合同条件をおぼえていればいるほど、

証明問題はときやすくなる。

辛いけど、これが事実だ。

最初はおぼえられなくても大丈夫。

徐々に問題をときながらみにつけていこう!

 

 

コツ5. 対応順にアルファベットをかく

アルファベットといえば、

A, B, C, D , E, F, G……

という順番だね。思わず歌いだすやつもいるかもしれない。

 

ただ、証明問題においては、

アルファベット順に英文字を並べるのはNG

なんだ。

 

たとえば、例題で、

赤と緑の2つの三角形について証明していくよ

っていいたいとしよう。

数学 証明問題 コツ

このとき、なにも考えずにアルファベット順に、

△ABCと△ACDにおいて

とか書いちゃダメだ。

なぜなら、

対応する頂点同士の順番になっていないから

だ。

こういうときは対応する頂点の順番で、

△ABCと△CDAにおいて

ってかいてあげよう。

先生によっては対応する順番でかかないと×ってひともいるから

きをつけてね^^

 

 

コツ6. とりあえず番号をふっておこう!

証明問題でみちびいたことに「番号」をふろう!

たとえば、

AB = DC (仮定)・・・・・・(1)

といった感じで。

 

なぜ大事なのかというと、

結論をみちびく材料として使いやすくなるから

なんだ。

ただ単に、

以上のことより、△ABC ≡ △DACである

っていうよりも、

(1)、(2)、(3)より、△ABC ≡ △DACである

っていったほうが説得力があるからね。

 

番号をつけるのはタダ。無料さ。

番号のつけすぎで減点されないから大丈夫。

引用しやすいようにこまめに番号をつけよう!

 

 

コツ7. 担当の先生の書き方をマネする

証明問題の書き方にはたーくさんある。

先生によって書き方がちがう。

たぶん、誰を信じたらいいかわからなくなるはずさ笑

そんな状況だからこそ、

先生流の書き方で証明問題をかいてあげよう!

 

ぼくが中学生のときも困惑したよ。

先生によっては、三角形の合同条件を、

  • 三辺相等
  • 二辺夾角相等
  • 二角夾辺相等

ってかかないと×にするヒトもいたし。

 

だから、

担当の先生の書き方で証明をかいてあげること

が高得点をとる秘訣になってくる。

数学の先生の板書をしっかりとって、

テスト前に書き方をおぼえてみよう!

 

いや、ぜんぜん書き方がわからない!

ってときは、

証明問題の書き方の記事を参考にしてみて^^

 

 

まとめ:数学の証明問題は7つのコツでどうにかなる!笑

数学の証明問題はぶっちゃけむずい。

だけど、この記事で紹介した7つのコツで、

  1. 仮定と結論をみつける
  2. 仮定を図にかきこむ
  3. 結論から逆算してイメージ
  4. 根拠となることがらを覚える
  5. アルファベット順はやめる
  6. とりあえず番号をふりまくる
  7. 担当教師の書き方をマネる

ちょっとだけラクになるはず。

やっかいな単元だけどがんばっていこう!

そんじゃねー

Ken

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83 個の質問と回答

  • 証明問題の時に、二つの長さをたしたものは、一つの直線になるっていう問題はどう解くんですか?

  • 見た目が全然違う三角形の合同を求めなさいという問題が出ました。
    全く分かりません。
    交わる点がEでどうたらこうたらという問題です。教えてください

  • >見た目が全然違う三角形の合同を求めなさいという問題が出ました。
    全く分かりません。
    交わる点がEでどうたらこうたらという問題です。教えてください

    問題がよくわからない!笑
    詳細を送って!

  • 紙を折る問題が出ました。見た目が違う問題も教えてください‼️
    後、1ページにまとめてもらうと分かりやすいです。
    ヨロシクお願い致します

  • 貴方の記事のお陰で証明が分かる気がします❗ありがとうございます!

  • この記事のおかげで証明の基本も頭に叩き込む ! ことができました。証明に慣れることができました。!感謝です!。

  • いつもテスト前に参考にさせてもらっています!ありがとうございます!

  • 2つの三角形が重なって正三角形になっている。この2つの三角形が合同であることを証明しなさい。、、、という問題がワークにありました。
    教えてください‼

  • >2つの三角形が重なって正三角形になっている。この2つの三角形が合同であることを証明しなさい。、、、という問題がワークにありました。

    重なってるところが正三角形だとしたら、それぞれの三角形の内角の1つが60度で等しいはずだ。
    おそらくこの材料を使って、一辺とその両端の角、もしくは2辺とその間の角の合同条件に持っていくんじゃないかな

  • 一部が重なる図形の角が等しいことを示す証明のやり方がわからないです。(正三角形とか正方形を使う?みたいな)教えてください!

  • >一部が重なる図形の角が等しいことを示す証明のやり方がわからないです。(正三角形とか正方形を使う?みたいな)教えてください!

    図形の角が等しい時の証明は、

    2つの三角形の合同を証明

    対応する角は等しい

    っていうパターンが多いかな。
    ってことで、三角形の合同を証明できるように訓練しておこう

  • 平行四辺A BCDの対角線 BD =DFとなるような2点E,FをとればAE=CFとなることを証明しなさい。

  • >平行四辺A BCDの対角線 BD =DFとなるような2点E,FをとればAE=CFとなることを証明しなさい。

    EとFをどこの辺の上に取るのかにもよるかな

  • kenさんのおかげで定期テスト9割超えることができました!
    これからもよろしくです!

  • 根拠となる事柄って上の6個以外にありますか?具体的な他の物も教えていただけると助かります。

  • ACとBCとの交点をOとする時AO=DO、BO=COならば、AB=DCとなる。という問題なのですが、根拠となることがらをかけないのですが・・・。▷◁こんな形で、三角形学校鈍角三角形だと思うんですけど・・・。教えてください。

  • >根拠となる事柄って上の6個以外にありますか?具体的な他の物も教えていただけると助かります。

    数学の図形の授業で習った全部だね!
    他によくでてくるのは「同位角と錯角」かな

  • >ACとBCとの交点をOとする時AO=DO、BO=COならば、AB=DCとなる。という問題なのですが、根拠となることがらをかけないのですが・・・。

    これは三角形の合同を証明する問題だから合同条件は必須だよね。
    あとは対頂角の性質は使いそうね

  • 学校の教師が、平行四辺形だとわかっているものの証明問題では、「定義は仮定に含んで良いです」と言われたのですが、これってテストで仮定と結論を聞かれた時、仮定に平行だということを書いた方が良いのでしょうか、それとも定義は平行ということだから、平行からわかることを書いた方が良いのでしょうか?又は両方共でしょうか、解説お願いします

  • >学校の教師が、平行四辺形だとわかっているものの証明問題では、「定義は仮定に含んで良いです」と言われたのですが、これってテストで仮定と結論を聞かれた時、仮定に平行だということを書いた方が良いのでしょうか、それとも定義は平行ということだから、平行からわかることを書いた方が良いのでしょうか?又は両方共でしょうか、解説お願いします

    仮定は「平行四辺形である」で、そこから平行四辺形の定義とか性質とかを自由に使ってもいいってことなんじゃないかな。
    例えば平行だったら、
    四角形ABCDは平行四辺形だから、
    AB//CD
    みたいな感じかな

  • 先生の言っていることがほんとにさっぱりだったので
    kenさんの記事を読ませていただいて理解できました!!
    私の学校の来月にある期末テストがんばれそうです^^
    ありがとうございます

  • 問題によって図形の形が変わったり、結論がよく分からないところを言ったりするのですが、問題が違っても共通点とかって、ありますか?

  • >問題によって図形の形が変わったり、結論がよく分からないところを言ったりするのですが、問題が違っても共通点とかって、ありますか?

    世の中にはいろんな証明の問題があるけど、
    仮定から結論を導く
    という点はみんな一緒だね。この流れを意識して証明問題を解いてみよう

  • 中点連結定理を使わずに
    四角形を出すためにはどうしたらとけますか

    なんでもない四角形ABCDの辺AB BC CD DAの中点をPQRSとしたとき、四角形P Q R Sが平行四辺形であることを証明しなさい。

  • 色んな種類覚えらんなくて一つ覚えると一つ忘れる…。マジで数学嫌いになりそう

  • >色んな種類覚えらんなくて一つ覚えると一つ忘れる…。マジで数学嫌いになりそう

    慣れでねじふせよう。
    最初は無理に覚えようとしなくても大丈夫。問題をたくさん解いて慣れよう

  • いつも証明の問題で仮定が合っているところと合っていないところがあります!どうすればちゃんとした仮定が書けますか?

  • >いつも証明の問題で仮定が合っているところと合っていないところがあります!どうすればちゃんとした仮定が書けますか?

    問題でわかってること以上のものを言われなければ大丈夫!
    仮定は問題で提示されている条件なので問題文から読み取れることだけね

  • 結論は、わかるのに過程が見つかりません。
    あと、二つ分証明して求めるのはどうすればいいんですか?

  • 基礎問題は解けるけど応用問題がとけません
    助けて。

  • >結論は、わかるのに過程が見つかりません。
    あと、二つ分証明して求めるのはどうすればいいんですか?

    仮定は問題文から分かりづらいことが多いよ。
    問題文だけを読んで分かっていることが仮定なので、問題文読みながらずに図を書いたりして整理していこう

  • >基礎問題は解けるけど応用問題がとけません
    助けて。

    応用問題は問題を解いた数だけ強くなるよ。
    応用問題がたくさん掲載されている問題集を解いて応用問題の難易度に慣れてみよう。
    また間違えた問題はそのままにするだけじゃなくて次に出題される時にかけるように復習しておこう

  • 仮定見つけるのがわからないです。
    問題を見て図に書き込むのがいいですか?

  • >仮定見つけるのがわからないです。
    問題を見て図に書き込むのがいいですか?

    問題文を読んでわかってることが仮定だから、問題文を読みながら仮定を書き込めば自然と仮定がわかるはず

  • AO=BOといった仮定を、BO=AOで書いたら駄目だと聞いた。(塾の教師に)
    何故駄目なのかと聞いても「そういうものだから」と言われた。
    実際証明のルール的なものにあるんですか? それとも「しないほうが良い」程度ですか? 教えてください。

  • >AO=BOといった仮定を、BO=AOで書いたら駄目だと聞いた。(塾の教師に)
    何故駄目なのかと聞いても「そういうものだから」と言われた。
    実際証明のルール的なものにあるんですか? それとも「しないほうが良い」程度ですか? 教えてください。

    証明の最初で、

    (AOを含む三角形)と(BOを含む三角形)において

    という順番で宣言していて、かつ、他の辺の仮定でもこの順番で書いていたら揃えたほうがいいかも。
    まあBO=AOって書いてもバツじゃないけど「しない方が良い」程度かな。

  • 効率のいい勉強ってなに?

    本とかテレビでいってるけど、実際部活とか忙しくてなかなかうまくできないできない…

  • 明日の学年末テストで、証明問題おわった・・・
    ってなりそうだったけど、この記事を見て少し自信がつきました!!
    明日頑張ります。
    ありがとうございました^^

  • >効率のいい勉強ってなに?
    本とかテレビでいってるけど、実際部活とか忙しくてなかなかうまくできないできない…

    一番いいのは授業中に全てマスターしてしまうことだね。
    先生の授業が退屈だったら自分で勉強してしまおう

  • >明日の学年末テストで、証明問題おわった・・・
    ってなりそうだったけど、この記事を見て少し自信がつきました!!
    明日頑張ります。
    ありがとうございました^^

    ありがとう!証明は最初はビビるけど慣れれば大丈夫!

  • >証明で省略して解くコツはありますか?

    証明はめんどいけど省略しないほうがいいかな!
    丁寧な程よい、というか減点しにくい

  • わからない所がわかりません
    問題を解いていくしかないのでしょうか

  • >わからない所がわかりません
    問題を解いていくしかないのでしょうか

    これは証明の世界に慣れていくしかない!
    慣れると徐々に自分でとけるようになるはずね

  • ポイントがつかめました!
    今日のテストが頑張れそうです。
    ありがとうございます!!

  • >ポイントがつかめました!
    今日のテストが頑張れそうです。
    ありがとうございます!!

    ファイト〜

  • 二等辺三角形の性質は一つだけですか?あ、あと!とてもわかりやすかったです!ありがとうございます!

  • 線分AB上に中点Cをとり、線分ABに平行な直線L上に、CD=CEとなる2点D、Eをとる。このとき、AD=BEであることを証明しなさい。
    という問題がわかりません。教えて下さい_(._.)_

  • はじめまして。子供に数学を教える夫と数学の問題を見て、もしかしたら今なら数学シャッターが開き、証明問題解けるかも?と淡い期待を胸に読んでおりましたが、無理だった側の成れの果てです。

    質問させて頂きたいのですが、少し数学の問題や解き方そのものへの質問とは違うのですが、宜しくお願い致します。

    年のせいにはしたくありませんが、数学に対して昔よりイラッとしました。
    逆に、『何で証明しなきゃならんの?って言うか、証明って結局何だったんだっけ?』
    と開き直った疑問を持ってしまいました。
    私自身、とても残念です。

    そこでお聞きします。
    証明は元々何の為に使い始め、何故、私達は証明を学ぶ羽目になったのですか?
    証明の意味と起源を教えて頂けますでしょうか?

    死ぬまで数学が嫌いなままでは、大人として恥ずかしいと思い、解けなくても少しはイラッとせず、身近に感じてみたいと思い、質問させて頂きました。
    宜しくお願い致します。

  • >証明は元々何の為に使い始め、何故、私達は証明を学ぶ羽目になったのですか?
    証明の意味と起源を教えて頂けますでしょうか?

    なんとなく正しそうだけど、それって本当なの???
    ということをはっきりさせるのが証明だと思います。たとえば、あの図形のあの角度はどうみても90度に見えるんだけど、なんでそうなるんだろう、それって本当??
    と、感覚を理論にかえるというかそういうところが原点だったんじゃないですかね笑 これは推測ですが。

  • 質問ではないところからですけど、この記事を読んで基本的な証明はらくにこなせるようになりました。ありがとうございます。
    質問に移りますね。
    テストとかにでそうな問題があれば教えてくださいできれば例題と解き方まで書いてくださるとすごく助かります。
    お願いします。

  • e,fは四角形abcdの対角線bd上の点でbe=dfである。
    このとき,ae=cf ae∦cfならば.ab=cdであることを証明する。
    結論ab=cdを導くにはどの三角形とどの三角形を示せばよいか。
    また、ab=cdになることを証明しなさい とゆう問題の解き方がわかりません
    教えてください

  • 三角形の合同を使ってab=cdを導いてみよう。
    合同の三角形っぽい三角形の見つけ方のコツは、ヒントが多く与えられている奴らかな。
    この例でいうと、一番辺の長さがわかっている三角形はどれかな?

  • 諦めていたけれど、なんとなくやる気が出てきた気がします‼️
    ありがとうございます!

  • 確かに堅苦しいよね笑
    ただ形式さえ覚えてしまえば大丈夫。僕も最初ビビってだけど慣れたよ

  • 今まで何にも分からなかったのに、このサイト見たらすぐにわかった!
    もっと早く見つけたかった!!
    ありがとうございました。

  • 初めまして。証明の問題で困り果てているものです。質問させて下さい。
    1.結論を求めるのに回答通りの仮定じゃないとダメなんですか?
    平行四辺形の対角線を証明する問題で、その対角線を含んでる三角形を選んで証明を進めたのですが、もう△を選ぶところからが回答と違っていて…。
    2.図形のなかの直角三角形は証明せずに、90度のマークをいれてもいいんでしょうか?
    また、証明しなければならないときはどのようにして証明をすればいいんでしょうか?

    少し長くなってしまい、すみません。回答のほどよろしくお願いします。

  • 書く順番があやふやになってしまうんですが、
    どうすればいいですか?

  • 塾の先生に国語的に覚えてみたら?と言われたのですがどうすればいいですか?

  • あるね。仮定はヒントみたいなもんだから、こいつがなかったらどんな天才でも解けないようになっている

  • >1.結論を求めるのに回答通りの仮定じゃないとダメなんですか?

    結論を証明できれば模範解答と違っていてもオッケー!
    ただ、やはり正しい必要があるけどね

    >2.図形のなかの直角三角形は証明せずに、90度のマークをいれてもいいんでしょうか?
    また、証明しなければならないときはどのようにして証明をすればいいんでしょうか?

    いや、90度だと問題に書かれていなかったら入れちゃダメだ!
    三角形の2つの角度を足したら90度になるから、残りの角度は90度、みたいな証拠が欲しいな
    あとは、二等辺三角形の頂角から底辺への二等分線は垂直二等分線だから、みたいなパターンもあるかもね

  • AB=AC である二等辺三角形ABCにおいて頂角の二等分線とBCの交点をDとする。
    この時BD=CD、AD〔垂直のマーク〕BCであることを証明しなさい。
    という問題があったのですがわかりません(>_<)
    教えてください!

  • 証明に①,②,③,④などありますよね?
    それらのコツがわからないです…
    どう判断すればいいのか教えていただけますか?

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