【中3数学】二次方程式の解き方を見分ける1つのコツ

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二次方程式の解き方を見分けるコツ??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。スペース最高。

 

二次方程式の解き方をたくさんならってきたね。

ざっと数えるだけ、6つもある。

  1. 平方根をつかった解き方
  2. 共通因数でくくる解き方
  3. 因数分解の公式をつかう解き方
  4. たすきがけ因数分解をつかう解き方
  5. 解の公式をつかう解き方
  6. 平方完成をつかう解き方

解き方がたくさんあって便利なんだけど、

どの解き方つかえばいいかわからないんだよね。

せめて、

二次方程式の解き方を見分けるコツ

とかあれば助かる・・・・

 

そこで今日は、特別に、

二次方程式の解き方の見分け方

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を紹介するよ。

よかったら参考にしてみてね。

 

 

二次方程式の解き方を見分ける1つのコツ

二次方程式の解き方を見分けるコツは1つ。

それは、

消去法で解き方を選ぶ

だ。

  • 平方根の解き方がつかえる??
  • 共通因数でくくれる??
  • 因数分解の公式をつかえる??
  • たすきがけの因数分解できる??
  • 解の公式をつかう??
  • 平方完成をつかう。

っていう6つの解き方がつかえるか、上から確認していくのさ。

全部の解き方で解けなかったら諦めよう。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

それぞれの解き方を確認してみようね。

 

 

解き方1.「 平方根でイケル??」

平方根を使えるか確認してみて。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

見分け方のコツは1つ。

それは、二次方程式のかたちが

(xをふくむ式)の2乗 = A

になっているか、もしくはソレに変型できるか確認すればいいのさ。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

たとえば、

(x-4)² -11 = 0

っていう二次方程式があったとしよう。

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二次方程式 解き方 コツ

 

こいつはみたかんじ、

(xをふくむ式)²  = A

の形にもっていけそうだ。

だって、11を右辺に移項すればいいだけだからね。

 

このタイプの2次方程式なら、

  1. 移項
  2. 平方根を求める
  3. 移項

の3ステップでとけちゃうよ。

くわしくは、平方根をつかった二次方程式の解き方を復習してみて。

 

実際に右辺に11を移項して解くと、

(x-4)² -11 = 0

(x-4)²  =  11

x – 4 = ± √11

x = 4±√11

になるね。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

平方根をつかう解き方がいちばん簡単。

こいつで二次方程式が解けるか、まず確認してみて。

 

 

解き方2. 「共通因数でくくれる??」

共通因数でくくれるか確認しよう。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

項が2つの二次方程式のとき、つかうことが多いね。

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たとえば、つぎの二次方程式とか↓↓

3x² = 7x

 

二次方程式 解き方 コツ

 

この二次方程式の解き方なら、3ステップでとけちゃう。

  1. 移項する
  2. 共通因数でくくる
  3. 一次方程式を解く

⇒くわしくは「因数分解の公式をつかわない二次方程式の解き方」をよんでね。

 

実際にといてみると、

3x² = 7x

3x² –  7x = 0

x(3x – 7) = 0

x = 0, 3分の7

になるね。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

 

解き方3. 「因数分解の公式つかえる??」

平方根でも解けないし、共通因数でもくくれない・・・・

そんなときは、

因数分解の公式をつかった二次方程式の解き方

だ。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

この解き方では、

因数分解の公式で二次式を因数分解して、一次方程式をつくっていくよ。

 

たとえば、つぎのような問題ね。

x² + 6x = -8

 

二次方程式 解き方 コツ

 

このタイプの二次方程式は3ステップでとけちゃう。

  1. 移項
  2. 因数分解の公式つかう
  3. 一次方程式をとく

⇒くわしくは「因数分解をつかった解き方」をよんでみて。

 

実際に、さっきの二次方程式の、

x² + 6x = -8

を因数分解の公式をつかってといてみると、

x² + 6x = -8

x² + 6x + 8 = 0

(x +2) (x+4) = 0

x = -2, -4

になるね。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

因数分解の公式をよーく復習しとておいてね^^

 

 

解き方4. 「たすきがけ因数分解つかえる??」

因数分解の公式つかえねえええー

そんなときは、

たすきがけの因数分解がつかえるか粘ってみよう。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

たとえば、つぎの二次方程式で活躍するね。

5x² – 11x + 6 = 0

 

二次方程式 解き方 コツ

 

因数分解の公式を使おうとしても・・・・・

ぐっっっっ

使えない!!

ってなるはず。

 

そういうときは「たすきがけの因数分解」をつかえばいい。

2次方程式の係数を、

  • xの2乗の係数
  • 定数項
  • xの係数

の順番にヨコにかく。

んで、

かけたら「xの2乗の係数」、「定数項」になる数字をたすきがけで考えると、

 

1   -1   -5
5  -6   -6
———–
5   6   -11

になる。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

よって、二次方程式は、

5x² – 11x + 6 = 0

(x-1)(5x-6) = 0

になるね。

 

今まで通り、一次方程式をといてやると、

x = 1, 5分の6

になるね。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

 

解き方5. 「解の公式をつかう」

因数分解の公式も、たすきがけも無理。

そんなときは最終兵器、

解の公式

をつかおう。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

解の公式はどんな二次方程式でもとける公式だったね??

覚えにくいけど、むちゃ便利なんだ。

 

たとえば、つぎの二次方程式とかね。

x² – 2x -6 = 0

 

二次方程式 解き方 コツ

 

この二次方程式はどうがんばっても、因数分解の公式はつかえない。

たすきがけ因数分解でもかすりもしない。

・・・・・こまった・・・・・・

 

そんなときは、解の公式の出番だ。

3ステップでとけちゃうよ。

  1. 解の公式に代入
  2. √を簡単に
  3. 約分

 

二次方程式の係数を公式に代入すると、

x² – 2x -6 = 0

x = 2±√(2² -4×1×-6)/2

= 2±√(4 +24)/2

= 2±√28/2

= 2±2√7/2

= 1±√7

になるね!

 

二次方程式 解き方 コツ

 

これでどんな二次方程式もとけちゃう!

安心だ〜〜

 

 

解き方6. 「平方完成をつかう」

もしも、だよ。

もしも、解の公式を忘れたらどうしたいいんだろう??

因数分解の公式もつかえないし、共通因数でもくくれない。

そんなやばいときに役にたつのが、

平方完成による因数分解の解き方

だ。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

平方完成は、解の公式を証明するときにつかった解き方だよ。

だから、解の公式を忘れても、解の公式っぽく二次方程式がとけちゃうのさ。

 

たとえば、さっきの2次方程式、

x² – 2x -6 = 0

を平方完成でといてみようか。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

平方完成の解き方は4ステップだよ。

  1. x以外を右辺に移項
  2. xをふくむ式の2乗をつくる
  3. 平方根を求める
  4. x以外を右辺に移項

 

この解き方で二次方程式をといてみると、

x² -2x – 6 = 0

x² -2x = 6

x² -2x +1 -1  = 6

(x-1)² = 7

x-1 = ±√7

x = 1 ±√7

になる。

 

二次方程式 解き方 コツ

 

これは解の公式でだした解とおなじ。

解の公式を忘れたときに大活躍だ^^

 

 

まとめ:二次方程式の解き方のコツは消去法!

二次方程式の解き方はありすぎる。

どれを使ったらいいかわからないね。

心がけてほしいコツは、

消去法で解き方を選んでいく

ということ。

  1. 平方根をつかった解き方
  2. 共通因数でくくる解き方
  3. 因数分解の公式をつかう解き方
  4. たすきがけ因数分解をつかう解き方
  5. 解の公式をつかう解き方
  6. 平方完成をつかう解き方

がつかえるか順番に確認していってね。

きっと、どれかしらで解けるはずだよ。

 

そんじゃねー

Ken

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132 件の質問

  • これは因数分解の解き方でいけそうだね。
    かけたら「-30」、たしたら「7」になる2つの数の組み合わせを考えてみよう!

  • 3分の1(4-X)=-2分の1Xの二乗-2

    この問題ってどう解けばいいんですか?

  • >3分の1(4-X)=-2分の1Xの二乗-2
    分母を払ってみよう。
    分母の3と2の最小公倍数を両辺にかければいいのさ!

  • >X二乗-3X-18=0はどうやって解いたらいいんですか?

    因数分解の解き方でいけそうだね。
    かけたら「-18」、たしたら「-3」になる2つの数字の組み合わせを考えよう!

  • >x2じょう+x-12=0はなに?
    因数分解でとけそうだ。
    かけて-12、足したら1になる2つの数の組み合わせを考えよう

  • 3分の1エックス(4-X)=2分の1Xの二乗-2

    どう計算すればいいですか?

  • >3分の1エックス(4-X)=2分の1Xの二乗-2

    分母を払おう!
    分母の3と2の最小公倍数をかけてみて!

  • 3分の1エックス(4-X)=2分の1Xの二乗-2
    2X(4-X)=3X二乗-2
    8X二乗-2X二乗=3X二乗-2
    8X二乗-3X二乗-2X二乗=-2
    3X二乗=-2
    Xの二乗=-3分の2

    ここまでやてみたんですが、このあとが分かりません
    どうやるんですか?

  • (x+2)2+7(x+2)+6=0
    の解き方教えてください。(x+2)の後は、二乗です。

  • >(x+2)2+7(x+2)+6=0

    同じ式が2回以上出てきている式は置き換えるのがいいね。
    x+2=Aとすると、
    A2+7A+6=0
    みたいに、Aについての二次方程式ができるね。
    これをいつも通りとけばいいんだ。

  • 初めまして。職場で計算問題を部下に教えようと思いましたがそもそも私が解けませんでした。解放をご教授くだされば幸いです…問題 A地点とB地点112kmをボートで往復します。のぼりは7時間下りは4時間かかりました。この川の流れは毎時何kmでしょうか? 宜しくお願いしますm(__)m

  • >A地点とB地点112kmをボートで往復します。のぼりは7時間下りは4時間かかりました。
    この川の流れは毎時何kmでしょうか?

    ボートの速さを毎時xkm、川の流れの速さを毎時ykmとしてみましょう。
    下りの時は、(川の速さ+ボートの速さ)で進んでいて、
    登るときは、(ボートの速さ-川の速さ)で進んでいることがヒントです。
    あとは、登りと下りの速さを実際に計算してみて、xとyの連立方程式を作ってみましょう!

  • >4x2乗=25

    まずはxの前の係数の4で両辺を割ってみよう。
    そして、あとは平方根の計算でxから2乗をとるだけ

  • 1辺がxcmの正方形の一方の1辺を12cm長くしもう一方の1辺を12cm短くしてできる長方形の面積は12cm²である。
    という文から方程式を作るのですが(12+x)(12-x)=12であってますか?
    合っていたら解き方を教えてください

  • >1辺がxcmの正方形の一方の1辺を12cm長くしもう一方の1辺を12cm短くしてできる長方形の面積は12cm²である。
    という文から方程式を作るのですが(12+x)(12-x)=12であってますか?

    あってるよ!
    ()を分配法則で外してみよう!
    あとは12を左辺に移項して因数分解すればいいんじゃないかな

  • >x2乗+3x-2分の7=0

    両辺に2をかけて分数を消し去ろう。
    因数分解できなそうだったら解の公式で解いてしまおう

  • √3の整数部分をa、小数部分をbとするとき、aの4乗-bの4乗の値を求めなさい。
    文章ですがよろしくお願いします。

  • X²+6X=5
    の問題なんですが、途中式で9が出てくる見たいでなんで9が出てくるのかわからないので、教えて頂きたいです。

  • >√3の整数部分をa、小数部分をbとするとき、aの4乗-bの4乗の値を求めなさい。
    文章ですがよろしくお願いします。

    まずはaの4乗-bの4乗を因数分解してみよう!

  • >3X+X-4=0

    xの項の足し算を計算して、
    整数の-4を右辺に移項してみて。
    あとはxの係数で両辺を割ればよし

  • xについての二次方程式
    x^2-2x-(k+6)=0…[1]
    x^2+kx+2k=0…….[2]

    (問題)
    整数nが、[1]と[2]ね共通の解になるとき、kとnの値を求めよ

    この問題教えてください

  • 2x^2-7x+6=0

    を解いている過程で、

    (2x-3)(x-2)=0という式と、

    (-2x+3)(-x+2)=0という式が生まれたのですが、
    どちらが正しいでしょうか。

  • 最後の平方完成がわかりません。
    なぜ、x² -2x = 6

    x² -2x +1 -1 = 6

    (x-1)² = 7

    x-1 = ±√7

    x = 1 ±√7
    6を移行して-1を左辺にするのか詳しく教えてください。

  • >(2x-3)(x-2)=0という式と、
    (-2x+3)(-x+2)=0という式が生まれたのですが、
    どちらが正しいでしょうか。

    どっちも正しいよ!
    後者は()の式にそれぞれマイナス1がかけられているだけ

  • >なぜ、x² -2x = 6

    x² -2x +1 -1 = 6

    (x-1)² = 7

    x-1 = ±√7

    x = 1 ±√7
    6を移行して-1を左辺にするのか詳しく教えてください。

    これは計算しやすくするためだね。
    最終的に、
    (xの式)2 = 整数
    の形に持って行きたいから6を右に移項したよ

  • a(1-x/100)b(1+2x/100)
    の場合、
    ab(1-x/100)(1+2x/100)
    になるのですか?かっこの中は関係ないです笑

  • さっきの問題の続きです
    失礼致します。
    ab(1-x/100)(1+2x/100)=a×b…(1とします)
    【答え】 1+x/100-2x^2/10000=1…….(2とします)
    2x^2-100x=0……..(3)
    2x(x-50)=0……..(4)
    x=0,50

    何から何までわかりません…。なぜ(1)から(2)になるのか。なぜ(2)から(3)になるのか。なぜ(3)から(4)になるのか。
    できるだけ詳しくお教え下さい。
    回答おねがいいたします。

  • >200x-8x^2=1200

    まずは1200を左辺に移項。
    あとは、両辺を-8で割って、x2乗の係数を1にしよう!

  • >ab(1-x/100)(1+2x/100)=a×b…(1とします)
    【答え】 1+x/100-2x^2/10000=1…….(2とします)
    2x^2-100x=0……..(3)
    2x(x-50)=0……..(4)
    x=0,50

    1から2へは両辺をabで割ってるね。(ab=0じゃないっていう条件があるはず)
    2からは右にある1を左に移項して1を決して、あとはいつも通り、分母をはらってやろう!

  • 1から2へは両辺をabで割ってるね»でも、なぜ
    (1-x/100)(1+2x/100)
    から
    1+x/100-2x^2/10000
    のように変化しているんですか?

  • >1から2へは両辺をabで割ってるね»でも、なぜ
    (1-x/100)(1+2x/100)
    から
    1+x/100-2x^2/10000
    のように変化しているんですか?

    x/100=Aと置いてみると計算しやすくなるよ

  • すみません。言い方がまずかったです。
    (1-x/100)(1+2x/100)
    から
    1+x/100-2x^2/10000
    になっています。
    前者はかっこ付きなのに後者はかっこがないですし、符号が変わっています。なぜですか?

  • >(1-x/100)(1+2x/100)
    から
    1+x/100-2x^2/10000
    になっています。

    ()を展開するときは乗法公式を使うか、
    公式を忘れたり使えない場合は分配法則を使おう


  • 乗法公式使っても答えの通りになりません。
    1+(-x/100+2x/100)×1+(-x/100×2x^2/100)
    =1+x/100-2x^3/10000
    になってしまいます。

    -x/100かける2x/100=2x^3/10000ではないですか?

  • 何度もすみません
    やっぱり、-x/100×2x^2/100=-2x^3/10000
    では?

  • お忙しい所、失礼いたします。
    (100-x)^2=8100
    100-x=±90
    となるのは、なぜでしょうか。
    右辺の8100から±90になるのは解りますが、左辺が解りません。

    自分勝手ながら、詳しくお願い致します。

    失礼いたします。

  • 中学生の内容ではなくて申し訳ないのですが、五角柱以上の角柱の展開図につきまして、
    「重なる点」「重なる辺」の問題に弱いです。
    立方体なら直角で繋がる辺は重なる、などのウラワザがありますが…。
    角柱にもそのようなウラワザはあるのですか?
    ないのならば、そういう問題を解くコツを教えて下さい!

  • 問題文を見て、式を作る問題なんですけど
    問題1)「大小2つの自然数がある。その差は2で、積は48になる。大小2つの自然数を求めなさい」

    問題2)「連続した3つの自然数がある。最も小さい数と最も大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい。この3つの自然数を求めなさい。」
    で、式が分からず、その解き方も分かりません。
    ですので、教えてください!

  • >(100-x)^2=8100
    100-x=±90

    これは両辺に平方根をつけてるね。
    2乗したら(100-x)^2になるのは100-xだからね!

  • >中学生の内容ではなくて申し訳ないのですが、五角柱以上の角柱の展開図につきまして、
    「重なる点」「重なる辺」の問題に弱いです。

    この手の問題はむずいよね笑 
    展開図をかいて地道に消去法で絞ってくのがいいんじゃないかな!

  • >大小2つの自然数がある。その差は2で、積は48になる。大小2つの自然数を求めなさい

    大きい数をxとしてみよう。
    あとは小さい数をxで表して、大小の数をかけたら48になるっていう等式をつくればいいね。

    >連続した3つの自然数がある。最も小さい数と最も大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい。
    この3つの自然数を求めなさい。

    真ん中の数をxとして、他の2つの自然数をxで表してみよう。
    あとは「最も小さい数と最も大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい」を等式にすればいいね

  • あ!
    思いの外見取り図書くと簡単でした!
    本当にありがとうございました!

  • (t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27

    これの解き方を順を追って説明お願い致しますm^_^m

  • >(t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27

    まずは()の中の足し算を計算。
    あとは、両辺に2をかけて分母払ってもいいかもね。
    あとはいつも通り二次方程式を解いてくれ

  • 問題1)のほうでその差は”2”とありますが、その”2”はどこで使えばよいのでしょうか?

  • 2回目ですみません
    5+(t-5)において、
    5+(t-5)
    でも、
    5-5+t
    でも出来ますよね。
    計算の順序は、()→×÷→+-
    ではないのですか?

  • >問題1)のほうでその差は”2”とありますが、その”2”はどこで使えばよいのでしょうか?

    どっちかの文字をxとしたときに、もう1つの数をxで表すときに使うよ

  • >文章問題の解き方を、分かりやすく教えてください!!!

    方程式の文章題ってことかな?
    文章題を作る人の気持ちになってみるといいかな笑
    必ず、みんなが解きやすいように、答えとして求めて欲しいものを文字でおくと解きやすく設計されてるね。
    時々例外もあるけど!

  • >(x -3)y2+4(3ーx)

    一番後ろの(3-x)にマイナスをつけて、
    -(x-3)
    にしてやろう。
    あとはx-3が共通因数でくくれそうだね!
    ややこしかったらA=x-3と置き換えてもいいかな

  • >(90-X)(240+5X)=23400

    分配法則で()を外してみよう。
    あとは23400を左に移項していつも通り解いてみよう。

  • >5X^2-11X+6=0
    の答えは
    11±√1/10
    では間違えですか?

    あってるよ。ただ、√1は1だから、整数で表せそうだね

  • >(x+3)^2=-3x+45

    左辺を平方の公式で展開。
    あとは、右辺にある細いやつらを左辺に移項しよう。
    最後は因数分解でいけるはず

  • >X(X-4)=0

    Xか(x-4)のどっちかが0になるはず。
    このことから2通りのxの値を求めてみよう

  • >16x2乗=5

    x2乗の係数16で両辺を割ってみよう。
    あとは平方根の解き方でオッケー

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