【二次方程式】解の公式の証明がわかる4つのステップ

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二次方程式の解の公式を証明したい??

2次方程式に悩んでいるみんな、こんにちは!犬飼ふゆだよ。

 

解の公式はむちゃくちゃ強い味方。

どんな二次方程式もとけちゃうからね。

でも、

どうして解の公式なんてあるの?

とか、

覚えづらいよ!

とか、

なんで解の公式ができたんだろう??

って疑問におもうよね。

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だから、今日は、

解の公式がなぜ使えるのかを証明したいんだ。

ややこしいけど、give upしないでついてきて欲しいなぁ。

 

= もくじ =

  1. 解の公式とはなんだっけ??
  2. 展開の公式の復習
  3. 解の公式の証明の4ステップ

 

 

解の公式とはなんだっけ???

まず、解の公式を思い出してみよう。

二次方程式の「ax^2 + bx + c = 0」があったとすると、

 

解の公式 証明

 

解のxは、

x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a

であらわせるんだったね??

 

解の公式 証明

 

解の公式をつかった二次方程式の解き方はコレ読んでね^^

 

どんな二次方程式でもとけちゃう。複雑だけど便利なんだ。

 

 

解の公式の証明がわかる4つのステップ

解の公式を証明してみるよー。

むずかしめだけど、ついてきて欲しいなあ。

 

証明のゴールは、

二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」

x ={-b±√(b^2 -4ac)}÷2a

に変型することだよ。

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解の公式 証明

 

証明のゴールはみえたかな??

さっそく証明していこう。

 

 

Step1. 「x2をシンプルにする」

x2をシンプルにしよう。係数を1にするってことだね。

そのために、

二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」の両辺をaで割ればいいんだ。

x2だけじゃなく「bx+c」もaで割ってね。

 

さっそく、計算してみると、

ax^2 + bx + c = 0

x^2 + b/a x + c/a = 0

になる。

 

解の公式 証明

 

 

 

 

Step2. 「xの係数の半分を2乗したもの」を足して引く

つぎはxの係数に注目してね。

なんと、

「xの係数の半分を2乗したもの」を足して、そして引くんだ笑

意味不明だけどやってみて。

 

二次方程式「ax^2 + bx + c = 0」は、

x^2 + b/a x + c/a = 0

になってたよね??

ってことは、xの係数は「b/a」だ。

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解の公式 証明

 

こいつを半分にして2乗した「(b/2a)の2乗」を足して引いてあげるんだ。

すると、

x^2 + (b/a) x + c/a = 0

x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0

になるね!

 

解の公式 証明

 

 

Step3. 「( )2=  という形を作る」

「( )の2乗という形」をつくるよ。

どうして( )2=という形かっていうと、

x= ○○ にもっていきたいからだよ。

 

解の公式 証明

 

さっきのステップでは、

xの係数の半分の2乗をたしてひく

をしたよね??

じつはこれ、

「 ( )2 =  という形」を作るためだったんだ。

 

さっきの計算式に注目してみて。

 

解の公式 証明

 

x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2 – (b/2a)^2 + c/a = 0

のうち、3つの項の「x^2 + (b/a) x+ (b/a)^2 」を公式で因数分解すると、

x^2 + (b/a) x+ (b/2a)^2– (b/2a)^2 + c/a = 0

(x + b/2a)^2 –  (b/2a)^2 + c/a = 0

になるね。

 

解の公式 証明

 

「(x + b/2a )の2乗」以外の項の、

  • -(b/2a)の2乗
  • c/a

を右に移項してやると、

(x + b/2a)^2 =  (b/2a)^2 – c/a

になる。

 

解の公式 証明

 

これで、

「( )2 =  という形」がつくれたね^^

 

 

Step4. 右辺をまとめよう

移項した右辺をまとめよう!

1つの分数にすればいいわけだ。

 

(b/2a)^2の指数をはずすと、

(x + b/2a)^2 =  (b/2a)^2 – c/a

(x + b/2a)^2 =  b^2/4a^2 – c/a

になるね。

 

解の公式 証明

 

つぎは、2つの分数を通分すると、

(x + b/2a)^2 =  b^2/4a^2 – c/a

(x + b/2a)^2 =  (b^2 -c×4a)/4a^2 

(x + b/2a)^2 =  (b^2 -4ac)/4a^2 

になるね!

 

解の公式 証明

 

 

Step5. 両辺をルートしてみよっか?

最終的に「x= 」という形にしたいから、( )2 がいらないね?

両辺をルートしてみよう。

すると、

√{(x + b/2a)^2}  = √{ (b^2 -4ac)/4a^2 }

になる。

 

解の公式 証明

 

√をそれぞれはずしてやると、

x + b/2a  = ± (b^2 -4ac)/2a

になるよね?

 

解の公式 証明

 

解のxを求めたいから、左辺の「b/2a」を移項してやると、

x = -b/2a ± (b^2 -4ac)/2a

になる。

解の公式 証明

これをまとめると、

x = {-b± (b^2 -4ac)}/2a

になるね!

 

解の公式 証明

 

これで解の公式の、

x = {-b±√(b^2 -4ac)}÷2a

が導けたね^^

 

解の公式 証明

 

 

2次方程式の解の公式の証明はながい笑

二次方程式の解の公式の証明はどうだった??

いきなり覚えろって言われても納得できないよ

 って人や、

解の公式の謎を知りたい

って人のために書いてみたー。

わかるまで何回も証明してみてね。

そんじゃねー

犬飼ふゆ

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