二等辺三角形の定理の証明がわかる3ステップ

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二等辺三角形の定理を証明したいんだけど!

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。スープは濃いめに限るね。

 

二等辺三角形の定理にはつぎの2つがあるよ。

  1. 底角は等しい
  2. 頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する
二等辺三角形 定理 証明

こいつらって、むちゃくちゃ便利。

証明で自由に使っていいんだ。

 

でもでも、でも。

疑い深いやつはこう思うはず。

なぜ、二等辺三角形の定理を使っていんだろう??

ってね。

そんな疑問を解消するために、

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二等辺三角形の定理を証明していこう!

 

 

二等辺三角形の定理の証明がわかる3ステップ

つぎの、

二等辺三角形ABCで証明していくよ。

AB = ACのやつね。

二等辺三角形 証明 定理

 

3つのステップで証明できちゃうんだ。

 

 

Step1. 頂角から底辺に二等分線をひく!

頂角から底辺に二等分線をひこう。

 

例題でいうと、

Aの二等分線を底辺BCにひいてやればいいんだ。

二等辺三角形 定理 証明

底辺との交点をHとするよ。

 

 

Step2. 三角形の合同を証明する!

三角形の合同を証明していくよ。

 

例題でいうと、

  • △ABH
  • △ACH

の2つだね。

二等辺三角形 定理 証明
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△ABHと△ACHにおいて、

仮定より、

AB = AC・・・(1)

AHは角Aの二等分線だから、

角BAH = 角CAH・・・(2)

辺AHは共通だから、

AH = AH・・・(3)

 

(1)・(2)・(3)より、

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△ABH ≡ △ACH

である。

 

これで2つの三角形の合同がいえたね!

 

 

Step3. 合同な図形の性質をつかう!

あとは、

合同な図形の性質

  • 対応する線分の長さは等しい
  • 対応する角の大きさは等しい

をつかうだけ!

 

合同な図形同士の対応する角は等しいので、

角ABH = 角ACH

だ。

二等辺三角形 証明

 

こいつらは底角だから、

二等辺三角形の底角が等しい

ってことを証明できたね。

 

また、対応する角が等しいから、

角AHB = 角CHB

でもあるはずだ。

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角AHB と角CHBはあわせて一直線になっている。

つまり、

角AHB + 角CHB = 180°

だね?

二等辺三角形 証明 定理

ってことは、

角AHB = 角CHB = 90°・・・(4)

であるはずさ。

 

対応する辺も等しいので、

BH = CH・・・(5)

だよ。

二等辺三角形 定理 証明

 

ってことは、

二等分線AHは底辺BCの垂直二等分線

になっている!

つまり、

頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する

ってことがわかったね^^

 

 

まとめ:二等辺三角形の定理の証明は合同の性質から!

二等辺三角形の定理は便利。

ぜんぶ、

合同な三角形の性質からきているんだ。

暗記するのも大事だけど、

なぜ、二等辺三角形の定理がつかえるのか??

ということを知っておいてね^^

そんじゃねー

Ken

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18 個の質問と回答

  • >二等辺三角形の応用問題の解き方

    どういう問題かな?問題文送ってみてー

  • 普通の三角形とか二等辺三角形とか直角三角形とかあるじゃないですか?証明の問題で最後にどの三角形の定理で合同を証明すればいいのかいつも迷います。見分ける方法を教えてください!

    この前のテストで「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。」と書かなければいけなかったのに直角三角形と勘違いして「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい。」と書いてしまって間違えたんです…

  • >普通の三角形とか二等辺三角形とか直角三角形とかあるじゃないですか?証明の問題で最後にどの三角形の定理で合同を証明すればいいのかいつも迷います。見分ける方法を教えてください!

    合同条件はぶっちゃけどれを使ってもよくて、
    2つの三角形の合同が証明できればどれでも問題ないよ。
    直角三角形の合同を証明する問題が出たら、直角三角形の合同条件が使えるか疑ってみて、
    使えなかったら普通の三角形の合同条件をみてみる、みたいな感じでもいいんじゃないかな

  • 都立の図形の証明問題を見ると、応用で全く手に追えません…
    やはり何回も問題を解くのが正攻法でしょうか?

  • >都立の図形の証明問題を見ると、応用で全く手に追えません…
    やはり何回も問題を解くのが正攻法でしょうか?

    そうだね。
    手におえなかった問題を復習して1つずつ自分のものにしていくのも大事

  • △ABCで、∠B=∠Cならば、AB=AC を証明せよ。  という問題です。
    答えには  △ABDと△ACDで ADは∠Aの二等分線だから、
         ∠BAD=∠CAD   …..①
     仮定より ∠B=∠C    ……②
     三角形の内角の和が180°であることと、①②から

    となっていますが、 三角形の内角の和が180°であることはこの場合何を意味しているのでしょうか?
     

  • >△ABCで、∠B=∠Cならば、AB=AC を証明せよ。  という問題です。
    答えには  △ABDと△ACDで ADは∠Aの二等分線だから、
         ∠BAD=∠CAD   …..①
     仮定より ∠B=∠C    ……②
     三角形の内角の和が180°であることと、①②から

    となっていますが、 三角形の内角の和が180°であることはこの場合何を意味しているのでしょうか?

    証明全部送ってみて!

  • なんか鋭角とか出てきたんですけど
    使わなくても○ですか?

  • >なんか鋭角とか出てきたんですけど
    使わなくても○ですか?

    しっかり証明できてれば大丈夫!

  • 二等辺三角形ABCで、底角B、Cの二等分線をそれぞれひき、その交点をPとします。△PBCを証明しなさい。
    証明の仕方を教えてください。

  • 『二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する』ていうやつの証明の仕方を教えてください(汗)

  • >二等辺三角形ABCで、底角B、Cの二等分線をそれぞれひき、その交点をPとします。△PBCを証明しなさい。
    証明の仕方を教えてください。

    △PBCが二等辺三角形であることを証明するのかな?
    その場合、△ABCが二等辺三角形であることを使って、底角が等しいという性質を用いよう

  • 二等辺三角形の性質は仮定ですか?(^0^)/
    それとも二等辺三角形の性質と書くべきですか?

  • >二等辺三角形の性質は仮定ですか?(^0^)/
    それとも二等辺三角形の性質と書くべきですか?

    仮定だね。ただ、仮定と直接書く必要はなくて
    「二等辺三角形の性質より」と書いておけばいいよ

  • 自分数学覚えるの苦手で今中学2年なんですが簡単な証明問題の解き方と覚え方ってありますか?

  • >自分数学覚えるの苦手で今中学2年なんですが簡単な証明問題の解き方と覚え方ってありますか?

    証明は慣れるまでに時間がかかるので
    たくさん問題を解いてみよう! 無理に覚えようとしてもつまらないから実践が大事

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