円周角の定理の逆の証明？？
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
円周角の定理の逆の証明がかけなくて困っていました。
円周角の定理の逆を証明してみよう！
いきなり証明って言われても……
いったん分かると便利！
いろんな問題に使えるんだよな。
円周角の定理の逆って、
そんなに便利なの？
まあね。
円の性質の問題では欠かせないよ。
円周角の定理すら覚えてないのに……
そんなときのために！！
円周角の定理をサクッと復習しよう。
【円周角の定理】
1つの円で弧の長さが同じなら、円周角も等しい
∠ACB=∠APB
なるほど！
少し思い出せた！
【円周角の定理の逆】
2点P、 Qが線分ABを基準にして同じ側にあって、
∠APB = ∠AQB
のとき、
4点ABPQは同じ円周上にある。
ちょっとわかった気がする！
その調子で、
円周角の定理の逆の証明をしてみようか。
はい！！
3分でわかる！円周角の定理の逆とは？？
さっそく、
円周角の定理の逆を証明していくよ。
どうやって？
証明するの？
つぎの3つのパターンで、
角度を比べるんだ。
- 点 Pが円の内側にある
- 点 Pが円の外側にある
- 点Pが円周上にある
つぎの円を思い浮かべてみて。
点Pが円の内側にあるとき、
∠ADBと∠APBはどっちが大きい？
そう！
点 Pが円の外にあるときは？
∠ADBの方が大きい！
そうだね！
今わかってることを書いてみよう！
点Pは円の内側になると、
∠ADB＜∠APB
になって、
点Pが円の外側になら、
∠ADB＞∠APB
おっ、いい感じだね！
点Pが円上のとき、
∠ADB＝∠APB
じゃん！
そういうこと！
点 Pが円の内側に入っちゃったり、
円の外側に出ちゃったりすると、
角度は等しくなくなっちゃうよね。
はい！
点 Pが円周上にあるときだけ、
2つの角度が等しくなるってわけ。
なるほど！
ってことは、これが証明なんだ。
そう。
円周角の定理の逆の証明はこれでok。
いつもの証明よりは楽だったかも^^
まとめ：円周角の定理の逆の証明はむずい？！
円周角の定理の逆の証明はどうだったかな？
3つの円のパターンを比較すればよかったね。
- 点 Pが円の内側にある
- 点 Pが円の外側にある
- 点Pが円周上にある
図を見れば当たり前のことだったなあ
いうねえ
やってみると分かりやすかった！！
まずはあきらめず挑戦してみて！
うす！
年齢不詳の先生。教育大学を卒業してボランティアで教えることがしばしば。
質問ではないですが、誤植があったのでご報告します。
記事の中盤あたりで…
【円周角の定理の逆】
2点P、 Qが線分ABを基準にして同じ側にあって、
∠APQ = ∠AQB←ココ
のとき、
4点ABPQは同じ円周上にある。
∠APQ = ∠AQB→∠APB = ∠AQB です。
ご指摘ありがとうございます
点Ｐが円の内側にあるとき、なぜ. 三角形ＡPＢが大きいのですか？
見た目で判断するのは証明とは言わないのでは？
見た目で判断しているように見えますけど，内角と外角の関係を考えれば式でも簡単に書けるので，「証明の説明」としてはこれで十分だと思います。