3分でわかる!円周角の定理とはなんだろう??

円周角の定理とはなんだろう?!?

やあ、ぺーたーだよ。

 

中3数学もいよいよ大詰め。

いよいよ、

円の性質っていう単元

を勉強していくよ。

 

今日は、この単元でいちばん大事な、

円周角の定理とはなにか??

をまとめてみたんだ。

計算や証明で使ったりするから、しっかりおさえてあげてね。

 

 

= もくじ =

  1. 円周角・中心角とは??
  2. 円周角の定理とは??
  3. 円周角の定理をつかった練習問題

 

 

円周角・中心角とはなにもの??

円周角の定理を理解するためにはまず、

  • 円周角
  • 中心角

の2つの意味を知らないとね。


まず円周角からだ。

 

 

円周角とは?

円周角とはなんだろう??

Wikipediaをみてみると、

ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。

ってかいてある。

 

これはちょっとむずかしいw

正直、ユークリッドとかわけわからんよね。

 

円周角をもうちょっと簡単にいってあげると、

「円周上の1点」と、

 

円周角とは

 

そいつと被らない円周上の2つの点を、

 

円周角とは

 

線分でむすんだときに、

 

円周角とは

 

できる角度のことを、

円周角(えんしゅうかく)

とよんでいるんだ。

 

円周角とは

 

たとえば、つぎの円Oがあったとしよう。

円周上の点をA・B・Pとするよ。

 

円周角とは

 

このとき、

∠APBを弧ABに対する円周角

っていうんだ。

 

円周角とは

 

こんなかんじで、円周角には、

弧○○の円周角

というかんじで、どこかの弧に属してるってわけ。

 

 

中心角とは??

つぎは中心角。

中心角を数学用語集でしらべてみると、

弧の両端を通る2つの半径の作る角

らしいね。

これはわかりやすい。

 

「円の弧」の、

 

円周角とは

 

「両端を通る2つの半径」が、

 

円周角とは

 

つくる角を、

中心角(ちゅうしんかく)

というんだ。

 

円周角とは

 

たとえば、下の円Oだったら、

∠AOBが弧ABに対する「中心角」

ってわけね。

 

円周角とは

 

中心角も円周角とおなじように、

弧○○っていうかんじでどこかの弧に属しているよ。

 

円周角と中心角の違いはOKかな?

この2つの違いはしっかり理解しておいてね!

 

 

円周角の定理とはなにもの??

円周角の定理は、

円周角の決まりみたいなもんだ。

大切だからきっちり覚えてね!


円周角の定理は2つの性質があるよ。

  1. 1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である。
  2. 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

 

つまり、

  • 同じ弧に対する「円周角」と「中心角」の関係
  • 同じ弧に対する「円周角」と「円周角」の関係

の2つの円周角の定理があるんだ。

 

円周角の定理とは

 

どっちも、

「同じ弧に対する」

っていう条件が含まれてることに注意ね。

 

 

定理1. 「円周角は中心角の半分」

まずは、円周角と中心角の性質からだね。

 

1つの弧に対する円周角の大きさは、

その弧に対する中心角の半分である

っていう定理なんだ。

 

円周角の定理とは

 

たとえば、つぎのような円Oがあったとしよう。

このとき、円周角APBは中心角AOBの半分になるんだ。

 

円周角の定理とは

 

 

式であらわしてやると、

角APB = ½ 角AOB

になるね。

 

 

円周角の定理とは

 

これが、円周角の定理のうち、

同じ弧に対する円周角と中心角の関係ってやつね。

 

だから、もし、円周角APBが「50°」だとしたら、

中心角AOBは「100°」になるってわけだね。

 

円周角の定理とは

 

 

 

定理2. 「同じ弧に対する円周角は等しい」

つぎは、円周角の性質だね。

 

なんと、同じ弧の円周角ならすべて等しいんだ。

 

円周角の定理とは

 

この定理でも、

“同じ弧に対する”

っていう点に注意してね。

 

たとえば、下の円Oをみてみて。

 

円周角の定理とは

 

もし、弧ABに対する円周角APBが「50°」だとしたら、

∠AQB = 50°

になるはずなんだ。

 

円周角の定理とは

 

なぜなら、

両方とも弧 ABの円周角だからね。

 

 

実践問題でなれよう!円周角の定理

円周角の定理がどんなものかわかったかな?

最後に円周角の定理を使った例題を解いてみよう。

次の図の∠xの大きさを求めてみて。

 

 

練習問題1.

円周角の定理とは

 

こいつはそんなに難しくないかもね!

1つの弧に対する円周角の大きさは等しいから、

∠APB =  ∠AQB

になるんだ。

だから∠x=36°だね!

 

 

練習問題2.

円周角の定理とは

 

この問題は解けそうかな?

弧ABの円周角がx、∠AOBが弧ABの中心角

っていうことを見抜けると答えが出るよ。

 

そうすると円周角の定理の、

1つの弧に対する円周角の大きさは

その弧に対する中心角の半分である

をあてはめてやって、

 

∠x=104÷2

=52

 

ってことで、

答えは52°だね!

 

 

まとめ:円周角の定理はしっかり覚えよう!

どうだったかな?

円周角の定理がどんなものか

理解できたかな?

どこが円周角で、どこが中心角なのか

ぱっぱと頭の中で分かるようになるのがカギだね。

円周角の定理を使った問題をくりかえしやってみてね。

 

最初にも言ったけど、証明問題でも活躍するから覚えといてね!

円周角の定理をつかった証明問題

 

じゃあ、お疲れ!またね!

ぺーたー

質問する

質問と回答

  • 塾で全然分からず焦っていたので助かりました!
    ありがとうございます!!

  • その弧の中なら三角形が二個あっても足せば円周角になるんですか?

  • とてもわかりやすかったです!
    勉強のペースが遅くて焦っていたので助かりました!!またわからない問題があれば質問させて頂きます(>_<)
    有難うございました!!

  • いつもわかりやすくて参考にさせてもらってます!!
    質問なんですが、中心角と一つの円周角が分かっている場合、もう一つの円周角はどうやって求めるのですか?何度やっても出来ません。

  • >中心角と一つの円周角が分かっている場合、もう一つの円周角はどうやって求めるのですか?

    もし求めたい円周角が角度がわかってる円周角の弧と同じだったら角度は等しいね。
    中心角と弧を共有していたら、中心角の二分の一の大きさが円周角になるはずだ

  • 円周角とか授業で聞いても、いまいちよくわからなかったんですけど この記事はわかりやすくて とても参考になったしわかりやすかったです!

  • 塾でやったのですが、良く分からなかったので、助かりました。
    どの記事の解説も分かりやすくて、参考にさせてもらってます。

  • 円周角の一辺が中心角の半径の一辺と重なっていても円周角の定理は成立しますよね?

  • >円周角の一辺が中心角の半径の一辺と重なっていても円周角の定理は成立しますよね?

    そうだね!

  • 正直、学校より分かりやすかったです笑
    ありがとうございます!

  • 弧が2倍、3倍になると、円周角・中心角の角度も2倍、3倍になるのですか?

  • >弧が2倍、3倍になると、円周角・中心角の角度も2倍、3倍になるのですか?

    そうだね!

  • 弧の長さが2倍、3倍・・・になると、円周角・中心角も2倍、3倍・・・になるのですか?

  • >弧の長さが2倍、3倍・・・になると、円周角・中心角も2倍、3倍・・・になるのですか?

    そうだね〜

  • 冬休みの宿題で、まだ習っていない範囲もあったので非常に助かりました。予習にもなって本当にありがたいです。

  • いつも見させていただいています^ ^
    中3ですがすごく分かりやすかったです(*^^*)
    受験の勉強にも本当に役立っています!
    とてもありがたいです

  • とてもわかりやすい内容でした!
    もう、塾でクラス変わって飛ばされた単元だったのでよくわからなかったのですが、これで解決できました!!

  • 前買った参考書にはこの単元ありませんでした。何かオススメの参考書ありますか?私立推薦ですがとてもバカなのでw
    あれば教えていただけるとうれしいです!

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