【三平方の定理】直角三角形の辺の長さを計算する4つの問題の解き方

三平方の定理を使って直角三角形の辺の長さを計算したい!

どうも、Drリードだぞい。

 

中3数学では、

三平方の定理(ピタゴラスの定理)を勉強してきたよな?

簡単に復習すると、

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、

a²+ b² = c²   が成り立つ

ってやつだったな。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 計算問題 解き方

 

さあ、この定理を使いこなせるようになるんだぞ。

今回はそのための基礎トレーニングだ。

 

 

三平方の定理を使って直角三角形の辺の長さを求める4つの問題

三平方の定理をつかった問題でよく出てくるのは、

直角三角形の辺の長さを求める問題。

 

今日はこの問題を4つのパターンに分けてみたぞ。

  1. 超基本タイプ
  2. 平方根の計算混じるタイプ
  3. 直角二等辺三角形
  4. 三角形が2つ合体タイプ

問題集では、いろいろな直角三角形がでてくるし、簡単なのも難しいのも混じっているからな。

初めは解けなくっても、がっくりこないで、

負けんぞ!!

と構えとけ。

 

三平方の定理 直角二等辺三角形

 

 

問題1. 「公式で求める基本タイプ」

まず1つ目の問題は、

直角三角形の辺の長さを三平方の定理の公式で求めるタイプ。

これは、

三平方の定理の公式に、辺の長さを代入して計算するだけだから簡単だ。

 

たとえば、つぎの練習問題な。

 

練習問題1.

つぎの直角三角形の辺の長さxを求めてください。

直角三角形 三平方の定理

 

辺の長さが2桁でも気にすんな。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式にぶち込めばいいんだ。

x² = 5² + 12²

x = 13

 

三平方の定理 直角二等辺三角形

 

直角三角形と言えども、いつも右下に直角が来るとは限らんぞ。

三平方の定理 直角二等辺三角形

なっ。向きが変わると、斜辺がどれなのかうっかりしてしまうよ。

要注意だな。

 

 

 Step2. 「平方根の計算混じってるタイプ」

2つ目のタイプは、

三平方の定理の計算に「平方根・ルートの計算」が混じってるやつだ。

 

たとえば、次のような練習問題。

 

練習問題2.

つぎの直角三角形の辺の長さxを求めてください。

直角三角形 三平方の定理

 

三平方の定理で直角三角形の辺の長さを計算してみると、

x² = 3² + 5²

x = √34

になるね。

三平方の定理 直角二等辺三角形

答えが整数じゃなくてスッキリしないけど、こういう答えもありだ。

 

 

 Step3. ピタゴラスが悩んだ直角二等辺三角形

つぎは、直角二等辺三角形の辺の長さを三平方の定理で計算する問題。

たとえば、三平方の定理を発見したピタゴラスも悩んだと知られる次の問題だ。

 

練習問題3.つぎの直角三角形の辺の長さxを求めてください。

直角三角形 三平方の定理

 

直角二等辺三角形だけど、さっきの計算問題と同じだ。

三平方の定理の公式を使ってやると、

x² = 1² + 1²

x = √2

になるぞ。

 

三平方の定理 直角二等辺三角形

 

この直角二等辺三角形からピタゴラスは「無理数」を発見したと言われているんだ。

 

みんなは平方根とか無理数とか、もう当たり前だろ?

でも、ピタゴラスの生きてた時代は、まだまだ自然科学より宗教の勢力の方が主流でな。

ピタゴラス学派がうっかり、そして見事にピタゴラスの定理を見つけたんだが、

2乗して2になる数なんて、まだ見つかってなかった。

やや、これを発表したら、世の中大変なことになる・・・・

ってんで、長いこと秘密にしてたらしいぞ。

三平方の定理 直角二等辺三角形

今は平和だ。

無理数はある!!と大声で言えるいい時代だ。(笑)

 

 

問題4. 直角三角形が2つくっついてる問題

つぎは、

直角三角形が2つくっついてる問題な。

 

たとえば、次の練習問題だ。

 

練習問題4.

つぎの直角三角形の辺の長さxを求めてください。

直角三角形 三平方の定理

 

このタイプの問題では、高さを新しい文字で置いて2つの三角形の辺を出していくぞ。

 

まず、大きい三角形の高さをyとしてみよう。

直角三角形 三平方の定理

 

まず、灰色の直角三角形でyを計算してみる。

5² = 3² + y²

y = 4

 

そして、残りの白い直角三角形でxを出せばいいのさ。

x² = 4² + 2²

x = 2√5

 

三平方の定理 直角二等辺三角形

 

解き方大体わかっただろ??

じゃあつぎの計算問題にもチャレンジしよう。

 

練習問題5.

つぎの直角三角形の辺の長さxを求めてください。

直角三角形 三平方の定理

 

 

この問題も解き方はおんなじだ。

まず、真ん中の辺をyとして、yから計算すればいいんだね。

y² = 4² + 7²

y = √65

 

つぎはxを計算!

 

65 = 5² + x²

x = 2√10

 

三平方の定理 直角二等辺三角形

 

 

まとめ:三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使えば直角三角形の辺の長さは大体わかる!

三平方の定理で、直角三角形の辺の長さを求める問題はどうだった?

今日勉強した問題のパターンは4つだったな?

  • 超基本タイプ
  • 平方根の計算混じるタイプ
  • 直角二等辺三角形
  • 三角形が2つ合体タイプ

これだけの基本パターンやったら、少しは自信がついたな。

慣れるまではピタゴラスの定理の式に丁寧に数値を代入してくれ。

三平方の定理 直角二等辺三角形 三平方の定理 直角二等辺三角形

それじゃあな

Drリード

質問する

質問と回答

  • 直角三角形ではなくて
    斜辺を挟む2辺の長さとその角度が一つ分かっていたとしたら、
    どういう出し方になりますか?

  • よろしくお願いします。

    上記練習問題5と同じ図形で辺の長さを、4.7.√65のところを4√10.4√10.8√5の直角二等辺三角形。5.xのところを8.16とします。
    辺の長さ4と5の接する点をAとし、反時計回りで四角形ABCDとします。
    点Dから点Cに向けDE=EF=3となるようなE.Fを作り、AFとBEの交わる点をGとします。

    四角形ABCDの面積が144cm2のとき、三角形ABGの面積を教えてください。

  • >斜辺を挟む2辺の長さとその角度が一つ分かっていたとしたら、
    どういう出し方になりますか?

    斜辺に垂線引けばいいんじゃないかなー

  • 次の2辺とする三角形が直角三角形になるためには、残りの1辺の長さが何cmであればよいか。

    (1) 6cm,9cm
    (2) 5cm,10cm

    という問題なのですが、図もなく〇cm,〇cmとしか書いてありません。その時の解き方がわかりません。
    よろしくお願いします!

  • >次の2辺とする三角形が直角三角形になるためには、残りの1辺の長さが何cmであればよいか。
    (1) 6cm,9cm
    (2) 5cm,10cm

    図が無いときはかいてみるといいよ!
    この2辺が、
    ・斜辺とその他の一辺の長さ
    ・斜辺以外の2辺の長さ
    になっている2つのパターンが存在しているね。
    三平方の定理を使って計算してみよう。

  • 練習問題4と同じような問題で、大きな三角形の三つの辺の長さは判明していて、Yの長さを求める場合はどのように解けば良いのでしょうか?三角形の底辺も二分したものではなく6とした場合です。
    宜しくお願いします。

  • 直角三角形の3つの角度と一辺(対辺)の長さが分かっている時、隣辺の長さを求める方法は?

  • >直角三角形の3つの角度と一辺(対辺)の長さが分かっている時、隣辺の長さを求める方法は?

    角度にもよるかな。
    60度、30度、45度などが含まれていれば直角三角形の比で計算できるね

  • 周の長さが24㎝の直角三角形。斜辺の長さが10㎝のとき、他の2辺の長さを求めなさい。

    解き方が解りません。
    教えて下さい

  • >周の長さが24㎝の直角三角形。斜辺の長さが10㎝のとき、他の2辺の長さを求めなさい。
    解き方が解りません。

    他の2辺の長さの和なら求められるけどね!
    直角二等辺三角形だったらその和を2で割ればいいけど

  • 直角三角形で斜辺の長さがわかっており、またこれに直行する高さがわかっている場合、他の2辺の長さは求められますか。
    斜辺と高さがわかるので面積はわかりますが、その後どのように2辺の長さを求めればよいのでしょうか?

  • >直角三角形で斜辺の長さがわかっており、またこれに直行する高さがわかっている場合、他の2辺の長さは求められますか。
    斜辺と高さがわかるので面積はわかりますが、その後どのように2辺の長さを求めればよいのでしょうか?

    その他の二辺をx、yとしてみよう。
    「一番大きな直角三角形で三平方の定理」で1つの等式、
    「一番大きな直角三角形の面積を2通りの方法で表す」で2つ目の等式を作れそうだ

  • ピタゴラスの定理を相似な三角形で証明する方法を教えてください

  • 他とかぶっているかもしれませんが、練習問題4のXと「2」の部分が分からない時、2の部分をどうやって求めれば良いでしょうか。
    また片方の底辺「3」と斜辺「5」の間の角は30°と分かっているとした場合もお願いします

  • 直角三角形で30°+60°からなる1:2:√3の比率にある形状で√3が125mmの場合、斜辺はいくらとなりますか?

  • >直角三角形で30°+60°からなる1:2:√3の比率にある形状で√3が125mmの場合、斜辺はいくらとなりますか?

    125mmに√3分の2をかけるといいよ

  • 分数がでてきた2等辺三角形の三平方の定理が分かりません‼️教えてください( ´-`)

  • 頂角から底辺に垂直二等分線をひいてみて!
    そうすることでできた直角三角形で三平方の定理を使えばいいんじゃないかな

  • 直角3角形で直角を除く他の2つの角で、それぞれ36.9°と53.1°てありませんでしたか?
    それと、各辺の比は?

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