中学生でもわかる!三平方の定理(ピタゴラスの定理)の公式の4つの証明

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中学生でもわかる三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明って??

こんにちは!Dr.リードだぞいっ。

 

今回のテーマは三平方の定理(ピタゴラスの定理)だ。

聞いたことあるかな?

 

紀元前572年ごろのギリシア人のピタゴラスさんが発見したから「ピタゴラスの定理」っていうんだな。

今日はその三平方の定理(ピタゴラスの定理)の使い方じゃなくて、

なぜ、三辺平方の定理が使えるのか?を証明していくぞ。

 

 

中学生でもわかる!三平方の定理(ピタゴラスの定理)の4つの証明

三平方の定理の証明法は100以上、いやもっとそれ以上あるといわれている。

中でも、中学生にも分かりやすい4つの証明を紹介していくぞ。

  1. 小さな三角形を使う証明
  2. 小さな三角形と正方形を使う証明
  3. 正方形を2つ使う証明
  4. 直角三角形の相似を利用する証明

今回は姉上といっしょに三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明をみていこう。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

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その1. 「直角二等辺三角形を使った証明」

まず1つ目の証明は、

小さな直角三角形二等辺三角形

を使った証明だ。

 

 

直角三角形を4枚合わせると、

正方形になるよな?

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

んで、この正方形をもっとつなぎ合わせると、もっとでかい四角形ができるね。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

この証明では、パッチワークみたいな感じで、小さい直角二等辺三角形を使っていくぞ。

 

まずは、中ほどにピンクの生地8枚使って、直角三角形を作ってくだされ。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

ついでに3種類、イエロー、パープル、ミントグリーンも使って、ピンクの三角形の各辺がくっついた正方形を作ってくだされ。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それぞれの色にふくまれる直角二等辺三角形の数を数えてみよう。

  • 黄色:32個
  • パープル:16個
  • ミントグリーン:16個

「黄色の枚数」と「パープル+ミントグリーン」の枚数が一緒ってことに気づくかな?

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

黄色い正方形の1辺をb、

パープル・ミントグリーンの正方形の1辺をaとすると、

b² = a² + a²

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になってるはずだね。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

このことから、

赤の直角二等辺三角形の斜辺の2乗が、他の2辺の2乗の和になってる

って言えるね。

おお、これって三平方の定理じゃん!!

 

 

その2. 正方形と直角三角形を使った証明

つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)証明は、

  • 正方形
  • 直角三角形

の2つを使っていくよ。

こんな感じのパッチワークを想像してくれ。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

これの一番基本となるピースに注目。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

今回は、この、

  • 正方形1つ
  • 直角三角形4つ

が合体して正方形になってる図形を使っていくんだ。

1つの直角三角形の辺の長さをそれぞれ、

  • a
  • b
  • c

としてやろう。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

まず、下のようにピンクの三角形を右下へ動かしてみる。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

つぎは、水色の三角形を左下へ動かしてみる。

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三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

ここで、こいつを2つの正方形、

  • 1辺がaの正方形
  • 1辺がbの正方形

に分けてみると、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

こいつの面積は、

a² + b²

になるよね?

 

んで、もともとは1辺がcの正方形だったはずだから、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

c² = a² + b²

っていう式が成り立つね。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

 

ここで、左上の基本のピンクの直角三角形に注目てしてみて。

cは斜辺、aとbはその他の2辺の長さになってるよね?

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

おお、みごと、三平方の定理の式になりました。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

 

その3. 正方形を2つ使う証明

つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明は、

正方形を2つ使うパターン。

  • 1辺が(a+b)
  • 1辺がc

の2つの正方形をイメージしてみよう。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

こいつをこんな風に重ねてみた。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それぞれの面積を出すと、

  • 青色正方形の面積 = (a+b)²
  • 黄色い正方形の面積 = c²
  • 青い直角三角形の面積 = ½ × a × b × 4 = 2ab

 

真ん中の黄色い正方形は、青い正方形から4つの直角三角形を引いたものだから、

c² = (a+b)² -2ab

c² = a²+2ab +b² -2ab

c² = a²+b²

 

1つの直角三角形でみると、

cは斜辺でaとbはその他の辺だね。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。

 

 

その4. 直角三角形の相似を使う証明

相似の証明を使って、三平方の定理を証明することもできるんだよ。

 

つぎのような直角三角形△ABCがある。

Bから辺ACに垂線を下ろし、交点をDとするね。

AD = x 、DC = y  としておく。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

見やすいように図形をバラバラにすると、

相似な三角形が3個も隠れてるんだ。

 

△ABCと△ADBについて、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

仮定より、

∠ABC = ∠ADB = 90°・・・①

また、

∠CAB = ∠BAD(共通)・・・②

①②より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC∼△ADB

よって、対応する辺の比はそれぞれ、

c : a = a : x

a² = cx・・・③

になる。

 

また、

△ABCと△BDCについて、

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

仮定より、

∠ABC = ∠BDC = 90°・・・④

また、

∠CAB = ∠BAD(共通)・・・⑤

④⑤より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC∼△BDC

よって、対応する辺の比はそれぞれ、

c : b = b : y

b² = cy・・・⑥

になる。

 

③+⑥を計算すると、

a² + b² = cx + cy

a² + b² = c (x + y)

a² + b² = c²

おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。

 

 

まとめ:三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はまだまだあるぞ!

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はどうだっかな?

勉強したのは4つだったね。

  1. 小さな三角形を使う証明
  2. 小さな三角形と正方形を使う証明
  3. 正方形を2つ使う証明
  4. 直角三角形の相似を利用する証明

しっくりきたやつを覚えておこう。

 

ピタゴラスは数学者じゃなくて、ピタゴラス学派っていうギリシャの宗教教団のリーダーだったんだ。

数学者・哲学者・音楽家と様々な顔を持っていたらしいよ。

なかなかやるな、ピタゴラス。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 証明

 

それじゃあ!

Dr.リード

 


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