【中3数学】有理数と無理数とはなんだろう??

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有理数と無理数とはなんだろう??

こんにちは、この記事をかいてるKenだよ。タンパク質は大事ね。

 

中3数学では、

有理数と無理数

を勉強していくよ。

小学校ではならなってなかった新しい概念だね。

有理数

無理数

って1文字しか変わらないから間違いやすい。

非常にややこいね。

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有理数と無理数

 

 

 

そこで今日は、

有理数と無理数とはなにか??

をわかりやすく解説していくよ。

よかったら参考にしてみて^^

 

= もくじ =

  1. 有理数とはなんだろう??
  2. 無理数とはなんだろう??

 

 

有理数とはなにものなの?!?

まずは、

有理数とはなにか??

を振り返ってみよう。

 

有理数とはずばり、

分数であらわせる数だ。

 

有理数と無理数

 

整数をa, bとすると、

分数 a分のb

であらわせるってことさ。

ただし、分母は「0」じゃないっていう条件あるけどね。

 

有理数と無理数

 

だって、どんな数も0で割ることはできない

っていうルールがあるからね。

せっかくだから、有理数の具体例をみていこう!

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有理数の例1. 「整数」

まず、有理数の例としてあげられるのが、

整数

だ。

有理数と無理数

 

整数ってたとえば、

1, 2, 3, 4, 5….

って1以上の整数だったり、

0

だったりするやつ。

 

もちろん、符号がマイナスでも大丈夫。

-1, -2, -3, -4, -5….

とかね。

 

こいつらが有理数なのはあきらか。

なぜなら、

整数は分母を1とした分数であらわせるからね。

 

 

有理数と無理数

 

たとえば、

  • 5 =「1分の5」
  • 1234 = 「1分の1234」

だ。

分母を1にすれば分数であらわせる。

だから、整数は有理数なんだ。

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有理数の例2. 「有限小数」

2つめの有理数の例は、

有限小数

ってやつだ。

 

有限小数とはずばり、

小数の位が無限に続かないやつね。

たとえば、

0.3

とか、

0.999

とか。

有理数と無理数

 

こいつらって、

小数の位が無限に続いてないじゃん??

0.3だったら小数第1位でおわってるし、

0.99999だったら、小数第5位でとまってる。

 

こんな感じで、

ケタが続かない小数を「有限小数」ってよんでるのさ。

んで、

有限小数は有理数だよ。

なぜなら、分数であらわせるからね!

 

有限小数は、

(小数の位)÷(10の「小数の位の数」乗)

ですぐに分数にできちゃう。

 

たとえば、

  • 0.3 ⇒ 10分の3
  • 0.999 ⇒ 1000分の999

みたいにね。

 

有理数と無理数

 

有限小数は「有理数」っておぼえておこう!

 

 

 

有理数の例3. 「循環小数」

3つめの有理数の例は、

循環小数

ってやつだ。

これは無限に小数の位がつづく無限小数のなかでも、

小数の位の続き方に規則性があるやつ

なんだ。

 

たとえば、

0.33333333333…..

とか、

0.123412341234….

とかね!

 

有理数と無理数

 

 

こいつらはじつは、分数であらわすことができるんだ。

⇒詳しくは循環小数を分数に変換する方法をよんでみて

 

さっきの例でいうと、

  • 0.33333…. = 3分の1
  • 0.12341234…. = 9999分の1234

になるね!

 

有理数と無理数

 

よって、循環小数も分数にできる。

つまり、有理数ってことだね!

 

 

 

じゃあ無理数とはなんだろう!?!

それじゃあ、

無理数とはなんなんだろう!??

ちょっと気になるよね。

 

無理数とはずばり、

分数であらわせない数

のことだよ。

 

有理数と無理数

 

「有理数ではい数」=「無理数

ならおぼえやすいかな。

 

有理数と無理数

 

えっ。

分数であらわせない数字なんてあるのかって?!

じつはね、おおありなんだ。

 

具体的にいうと、

循環しない無限小数が無理数だよ。

 

つまり、

小数の位が続いているけど、続き方に規則がない小数のこと

だ。

 

有理数と無理数

 

そうは言っても、無理数にピンとこないね??

無理数の具体例をみていこう!

 

 

無理数の例1.  「π(円周率)」

中学数学ででくる無理数の例は、

π(パイ)

だね。

直径と円周の比の円周率のことだったよね??

 

有理数と無理数

 

じつは、これ、

無限に続いてる小数で(無限小数)、

しかも、

その続き方に規則性がまったくないんだ。

 

試しに、円周率を100ケタぐらいみても、

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164 062862089986280348253421170679…

・・・・っダメだ。。

規則性もクソもねえ!ランダムにケタが続いているよね。

こういうやつが、

無限小数で、しかも、循環しない小数

つまり、無理数ってわけ。

 

 

無理数の例2. 「平方根(ルート)」

中3数学でならった

「平方根」

も無理数だよ。ルートとよばれてるやつだ。

 

ルートがついているやつはたいてい無理数だね。

たとえば、良く登場してくる、

ルート2

は圧倒的に無理数だね。

 

有理数と無理数

 

なぜなら、

無限につづく小数で、しかも規則性がないからね。

こっちも試しにルート2の小数のケタをかきなぐってみると、

1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696….

まじムリっ!

 

ぜんぜんケタの繰り返しに規則性がみつけられないじゃん!?

だから、

ルート2は無理数

といえそうだ。

 

でもね、ルート2が平方根だからといって、

√(ルート)がついている数字はぜんぶ無理数ってわけじゃない。

 

たとえば、ルート4をみてみよう。

 

有理数と無理数

 

こいつには一見、無理数の香りがする。

ルートがついてるし。

 

だけどね、こいつは無理数じゃない。

なぜなら、

ルート(√)がはずせちゃうからね。

 

√の中身の4は「2の2乗」。

ってことは、√4の根号ははずせちゃうね。

√をはずしてみると、

√4 = 2

になる。

 

有理数と無理数

 

つまり、√4の正体は整数の2ってことなのさ。

整数は有理数だったね??

ってことは、

√4も有理数なのさ。

 

√がついてるからといって、無理数と決めつけないようにしよう!

ルートがはずれるか確認してみてね。

 

 

まとめ:有理数と無理数の違いは分数であらわせるかどうか!

有理数と無理数の違いはピンときたかな?

こいつらの違いは、

  • 有理数:分数であらわせる数
  • 無理数:分数であらわせない数

っておぼえておけば大丈夫。

有理数と無理数を見分けられるようにしよう^^

そんじゃねー

Ken

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28 件の質問

  • 直径1cmの円の円周はΠcm。
    円は平面的には閉じている。
    しかしΠは無理数で無限に続いている。
    子供にわかりやすく説明したいのですが
    なにか良い表現方法はありませんか?

  • 食塩水の濃度の公式は、

    濃度 [%] = 食塩の重さ[g] ÷ 食塩水の重さ[g] × 100

    だね。
    食塩がxg必要だとして方程式を作ってみよう

  • √81分の25
    は無理数か有理数どちらですか?
    √の中に分数があります。

  • 少数で表したとき、循環しない無限小数になる数←これって、√7と√13入りますよね?
    これって、どうやって確かめるんですか?

  • なんで、7分の2は少数で表したとき、循環しない無限小数になる数じゃないんですか?

  • 分母は整数で、分子がルートの場合は、有理数でしょうか?また、0は無理数でしょうか?

  • >少数で表したとき、循環しない無限小数になる数←これって、√7と√13入りますよね?

    ルートの場合は、中身が2乗になっていてルートが外れない限り無理数だね

  • >なんで、7分の2は少数で表したとき、循環しない無限小数になる数じゃないんですか?

    試しに2÷7を計算してみて。
    0.285714285714….になるはず

  • >分母は整数で、分子がルートの場合は、有理数でしょうか?また、0は無理数でしょうか?

    無理数になるね!

  • >√3分の1が無理数なのはなんでですか…

    有理化してみるとわかりやすいかな!
    結局、√3を3で割っているに過ぎないんだ

  • ー√16分の25は有理数、無理数のどちらですか。
    求め方もお願いします。

  • >ー√16分の25は有理数、無理数のどちらですか。

    有理数だね。
    なぜなら、分母のー√16は-4になるからね

  • >テストに出る時の説明の仕方を教えて下さい!

    定義を覚えておけばいいんじゃないかな。
    分数で表せる数は有理数、表せない数は無理数だ

  • めっちゃわかり易かったです!
    ありがとうございました!(*`・ω・)ゞ

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