【中学数学】正の約数の個数の求め方がわかる3ステップ

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正の約数の個数の求め方を知りたい!?

こんにちは!この記事をかいてるKenだよ。植物は癒しだね。

 

正の約数の個数を求めたい。

そんなとき・・あるよね。。

 

小さい数の約数なら簡単。

たとえば、

  • 2の約数:1と2(2個)
  • 8の約数:1, 2, 4, 8(4個)
  • 20の約数:1, 2, 4, 5, 10, 20 (6個)

みたいなかんじで、がんばれば約数の個数はわかっちゃう。

 

だけどね。

むちゃでかい自然数の正の約数の個数を求めたいとき。

こいつはそう簡単にうまくいかない。

 

たとえば、360の約数の個数を求める問題。

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1, 2, 3, ,,,4, ,5, ,,,, 6,,,,,,12,,,,,

って数えてたら日がくれちゃうね。気合だけじゃのりきれない。

 

 

そこで今日は、どんなに大きな数でも使える、

約数の個数の求め方の公式

を紹介するよ。

よかったら参考にしてみて。

 

 

正の約数の個数の求め方がわかる3ステップ

正の約数の求め方には公式があるよ。

 

約数の個数を求めたい自然数をNとしよう。

んで、

N = a^p × b^q × c^r

って素因数分解できたとする。

 

すると、正の約数の個数は、

(p+1)(q+1)(r+1)

になるんだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

つまり、

(素因数の指数+1)をかけあわせるだけでいいんだ。

 

たとえば、自然数20の約数の個数を求めてみよう。

こいつを素因数分解すると、

20 = 2^2 × 5

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になるね。

正の約数の個数は、(指数+1)をかけあわせればいいから、

(2+1)×(1+1)
= 6

になるってわけ。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

今日はこの公式になれるため、20よりもう少し大きい、

360

の約数の個数をもとめてみよう!

 

つぎの3ステップで約数の個数を求めることができるよ。

  1. 素因数分解する
  2. 指数をかぞえる
  3. (指数+1)をかけあわせる

 

 

Step1. 素因数分解する

自然数を素因数分解してみよう。

 

360を素因数分解してやると、

  • 360÷2 = 180
  • 180÷2 = 90
  • 90÷2 = 45
  • 45÷3 = 15
  • 15÷3 = 5
  • 5÷5=1

・・っおっと。

1がでてきたのでここでストップだね。

 

正の約数の個数の求め方

 

わった素数をあつめて因数にすると、

360 = 2^3 × 3^2 × 5

になるね!

 

正の約数の個数の求め方

 

 

Step2. 指数をかぞえる

つぎは、素因数の指数をかぞえよう。

自然数の360は、

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360 = 2^3 × 3^2 × 5

になったね。

 

素因数の指数に注目してやると、

  • 2の指数:3
  • 3の指数:2
  • 5の指数:1

になってるね。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

 

Step3. (指数+1)をかけあわせる

最後は、

指数に1をたしたもの

を掛け合わせてみよう。

 

360の素因数の指数はそれぞれ、

  • 2の指数:3
  • 3の指数:2
  • 5の指数:1

だったよね??

だから、360の正の約数の個数は、

(2の約数の個数+1) × (3の約数の個数) × (5の約数の個数)
= (3+1) × (2+1) × (1+1)
= 24

になる。

 

 

正の約数の個数の求め方

 

つまり、360の正の約数の個数は「24」になるってわけ!

 

 

なんで約数の個数が求められるの??

でもさ、ちょっとあやしくない??

約数の個数の求め方が、こんなに簡単だなんて・・・

 

じつは、

「 約数の個数」=「それぞれの素因数をかけるパターン数」

なんだ。

たとえば、さっきの自然数Nが、

N = a^p × b^q × c^r

に素因数分解できるとしよう。

 

このとき、素因数aの掛け方の方法は、

  • aの0乗
  • aの1乗
  • aの2乗
  • ・・・
  • aのp乗

の (p+1)通りあるはず。

 

正の約数の個数の求め方

 

おなじように、他の素因数も考えてやると、

  • bの掛け方のパターン: q + 1通り
  • cの掛け方のパターン: r + 1 通り

になるはずだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

1つの素因数あたりの指数のパターンは、

  • p+1 通り
  • q+1 通り
  • r+1 通り

ある。

だから、自然数Nの約数の個数は、

(p+1)×(q+1)×(r+1)

になるんだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

どう??しっくりきたかな??

 

 

 

まとめ:正の約数の個数の求め方は素因数分解からはじまる!

約数の個数??

そんなの簡単さ。

素因数分解して、指数に1をたして、かけあわせればいいんだ。

じゃんじゃん素因数分解していこう!

そんじゃねー

Ken

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