【中学数学】正の約数の個数の求め方がわかる3ステップ

正の約数の個数の求め方を知りたい!?

こんにちは!この記事をかいてるKenだよ。植物は癒しだね。

 

正の約数の個数を求めたい。

そんなとき・・あるよね。。

 

小さい数の約数なら簡単。

たとえば、

  • 2の約数:1と2(2個)
  • 8の約数:1, 2, 4, 8(4個)
  • 20の約数:1, 2, 4, 5, 10, 20 (6個)

みたいなかんじで、がんばれば約数の個数はわかっちゃう。

 

だけどね。

むちゃでかい自然数の正の約数の個数を求めたいとき。

こいつはそう簡単にうまくいかない。

 

たとえば、360の約数の個数を求める問題。

1, 2, 3, ,,,4, ,5, ,,,, 6,,,,,,12,,,,,

って数えてたら日がくれちゃうね。気合だけじゃのりきれない。

 

 

そこで今日は、どんなに大きな数でも使える、

約数の個数の求め方の公式

を紹介するよ。

よかったら参考にしてみて。

 

 

正の約数の個数の求め方がわかる3ステップ

正の約数の求め方には公式があるよ。

 

約数の個数を求めたい自然数をNとしよう。

んで、

N = a^p × b^q × c^r

って素因数分解できたとする。

 

すると、正の約数の個数は、

(p+1)(q+1)(r+1)

になるんだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

つまり、

(素因数の指数+1)をかけあわせるだけでいいんだ。

 

たとえば、自然数20の約数の個数を求めてみよう。

こいつを素因数分解すると、

20 = 2^2 × 5

になるね。

正の約数の個数は、(指数+1)をかけあわせればいいから、

(2+1)×(1+1)
= 6

になるってわけ。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

今日はこの公式になれるため、20よりもう少し大きい、

360

の約数の個数をもとめてみよう!

 

つぎの3ステップで約数の個数を求めることができるよ。

  1. 素因数分解する
  2. 指数をかぞえる
  3. (指数+1)をかけあわせる

 

 

Step1. 素因数分解する

自然数を素因数分解してみよう。

 

360を素因数分解してやると、

  • 360÷2 = 180
  • 180÷2 = 90
  • 90÷2 = 45
  • 45÷3 = 15
  • 15÷3 = 5
  • 5÷5=1

・・っおっと。

1がでてきたのでここでストップだね。

 

正の約数の個数の求め方

 

わった素数をあつめて因数にすると、

360 = 2^3 × 3^2 × 5

になるね!

 

正の約数の個数の求め方

 

 

Step2. 指数をかぞえる

つぎは、素因数の指数をかぞえよう。

自然数の360は、

360 = 2^3 × 3^2 × 5

になったね。

 

素因数の指数に注目してやると、

  • 2の指数:3
  • 3の指数:2
  • 5の指数:1

になってるね。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

 

Step3. (指数+1)をかけあわせる

最後は、

指数に1をたしたもの

を掛け合わせてみよう。

 

360の素因数の指数はそれぞれ、

  • 2の指数:3
  • 3の指数:2
  • 5の指数:1

だったよね??

だから、360の正の約数の個数は、

(2の約数の個数+1) × (3の約数の個数) × (5の約数の個数)
= (3+1) × (2+1) × (1+1)
= 24

になる。

 

 

正の約数の個数の求め方

 

つまり、360の正の約数の個数は「24」になるってわけ!

 

 

なんで約数の個数が求められるの??

でもさ、ちょっとあやしくない??

約数の個数の求め方が、こんなに簡単だなんて・・・

 

じつは、

「 約数の個数」=「それぞれの素因数をかけるパターン数」

なんだ。

たとえば、さっきの自然数Nが、

N = a^p × b^q × c^r

に素因数分解できるとしよう。

 

このとき、素因数aの掛け方の方法は、

  • aの0乗
  • aの1乗
  • aの2乗
  • ・・・
  • aのp乗

の (p+1)通りあるはず。

 

正の約数の個数の求め方

 

おなじように、他の素因数も考えてやると、

  • bの掛け方のパターン: q + 1通り
  • cの掛け方のパターン: r + 1 通り

になるはずだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

 

1つの素因数あたりの指数のパターンは、

  • p+1 通り
  • q+1 通り
  • r+1 通り

ある。

だから、自然数Nの約数の個数は、

(p+1)×(q+1)×(r+1)

になるんだ。

 

正の約数の個数の求め方

 

どう??しっくりきたかな??

 

 

 

まとめ:正の約数の個数の求め方は素因数分解からはじまる!

約数の個数??

そんなの簡単さ。

素因数分解して、指数に1をたして、かけあわせればいいんだ。

じゃんじゃん素因数分解していこう!

そんじゃねー

Ken

質問する

質問と回答

  • 2個のサイコロを振るときに
    出る目の最大公約数が2となる確率の考えかた、
    教えてください。

  • >2個のサイコロを振るときに
    出る目の最大公約数が2となる確率の考えかた、
    教えてください。

    サイコロが2個のパターンは表を書くとわかりやすいよ。
    詳しくは「サイコロ2個の確率」を読んでみて

  • 約数の個数は分かったんがですが、約数を求めるやり方がわかりません。

  • 何で、□を4乗した数の約数が5つになるんですか?

  • 中学1年生の記号とかよくわからない人でもわかるように説明してください!お願いします!
    (素因数分解のやり方は分かります)

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