【簡単計算】循環小数を分数に変換する3つのステップ

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循環小数を分数に変換したい!

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。大根は干すとうまいね。

 

循環小数の問題でよくでてくるのは、

循環小数を分数に変換する問題

だ。

 

これは文字通り、

永遠につづく循環小数

分数

で表せって問題なんだ。

 

循環小数 分数 変換
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たとえば、こんな感じのやつね↓↓

 

例題

循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。

 

循環小数 分数 変換

 

 

求め方がわからんと苦戦する。

だけど、やり方はすごく簡単なんだ。

いっかいマスターすれば怖いものなしさ。

 

そこで今日は、

循環小数を分数になおす方法

をわかりやすく解説していくよ!

 

 

 

循環小数を分数に変換する3ステップ

3ステップでいけちゃうね。

  1. リピート数を数える
  2. 方程式をつくる
  3. 方程式をとく

例題をいっしょに解いていこう!

 

例題

循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。

循環小数 分数 変換

 

 

Step1. リピート数を数える

まずは、

繰り返しになってる数をかぞえてみよう。

 

例題の循環小数をみてみて。

0.123412341234…

は、

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1234の「4ケタ」が繰り返えされてるね??

 

循環小数 分数 変換

 

だから、リピート数は「4」だ。

 

あ、ちなみに、この循環小数はこうやって表せるんだ。

⇒くわしくは「循環小数の表し方」をみてみてね

 

 

循環小数 分数 変換

 

これが第1ステップ。

 

 

Step2. 方程式を2つ作る

つぎは、方程式を2つたててみよう。

 

えっ。

そんなに方程式なんて立てられないって!??

そんなことはないよ。

じつは、

循環小数の方程式のたてかたはいつも同じなんだ。

 

もとの循環小数をx、繰り返しになってるケタ数をaとしよう。

このとき、

  • 10^a X = 10^a × 循環小数
  • x = 循環小数

っていう2つの方程式をつくればいいのさ。

 

循環小数 分数 変換

 

例題で繰り返しになっている数は、

4ケタ

だったよね??

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だから、a  = 4 、循環小数 = 0.123412341234…を

10^a X = 10^a × 循環小数

に代入してやると、

10^a X = 10^4 × 循環小数
10000X = 10^4 × 0.123412341234…
10000X = 1234.12341234…

になるね。

 

循環小数 分数 変換

 

んで、もう一個の式は、

X = 循環小数

のまんま。

X = 0.123412341234…

になるね。

 

よって、例題ででてくる2つの方程式は、

  • 10000X = 1234.12341234…
  • X = 0.123412341234…

だ!

 

循環小数 分数 変換

 

 

 

Step3. 方程式を引き算する

つぎは、2つの方程式を引き算しよう。

「大きいほう」から「小さいほう」をひけばいいんだ。

つまり、

(Xに10のa乗をかけた方程式)-(Xの方程式)

っていう計算だ。

 

循環小数 分数 変換

 

例題でも2つの方程式を引くと、

 

10000X = 1234.12341234…
– )X = 0.123412341234…
————————————–
10000X – X = 1234.1234… – 0.12341234…
9999X = 1234

 

循環小数 分数 変換

 

になるね!

 

 

Step4. 方程式をとく

あとは方程式をとくだけ。

xだけの一次方程式だから簡単だね。

 

例題でも、

9999x = 1234

をといてみよう。

xの係数「9999」で両辺をわってやると、

9999x ÷ 9999 = 1234 ÷ 9999
x =  9999分の1234

になるね!

 

循環小数 分数 変換

 

よって、循環小数0.12341234…は、

9999分の1234

って分数に変換できちゃうってわけ!

 

循環小数 分数 変換

 

どう??

しっくりきたかな!?

 

 

 

まとめ:循環小数の分数変換に必要なのは一次方程式!

循環小数を分数に変換できた??

使ってるのは、中1数学でならう、

一次方程式の解き方

だけだ。

やってること自体は簡単だから、計算問題をたくさんといてみよう!

そんじゃねー

Ken

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