相似の証明問題でマスターしておきたい3つのパターン

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相似の証明ってどんな問題がでるの??

こんにちは、Drリードだよ。

 

相似でいちばんやっかいなのは、

相似の証明の問題

だね。

これは文字通り、

ある図形が相似であること

を証明しなきゃいけない問題なんだ。

テストによくでてくるから完ぺきにしておこう。

 

前回の記事では「相似の証明問題の書き方」を勉強してきたよね??

今日は、もう一歩踏み込んで、

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相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン

を勉強していくよ。

テスト前に参考にしてみて。

 

 

相似の証明問題でよくでてくる3つのパターン

相似の証明には基本の3パターンがあるよ。

それぞれの特徴と証明の進め方を確認していこう。

図形を見て、

「あっ,○○○タイプだっ」

てわかるようになれば一安心だね。

 

 

問題パターン1. 「リボン型の図形」

1つめによくでてくる証明問題のパターンは、

リボン型の図形

だ。

この問題の図形は、文字通り、

リボンの形

をしているよ。

 

相似証明問題

 

たとえば、つぎのような問題だね。

 

 


証明問題1.

つぎの△AODと△COBが相似であることを証明しなさい。

 

相似証明問題


 

この問題の場合、2つの辺の長さがわかっているね。

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あとはどの相似条件にあてはまるかだ。

2つの辺がわかっているから、つぎの相似条件のどっちかにあてはまるはずだね。

  • 3組の辺の比がそれぞれ等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

 

1つめの相似条件にあてはまるためには、

ADとBCの長さ

が必要になってきちゃうね。

これはたぶん、おそらく、無理!

超能力ならいけそうだけどね。

 

ってことで、2つめの相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

が使えそうだ。

これなら、長さがわかってる2つの辺にはさまれた、

  • 角AOD
  • 角COB

の大きさが等しいってわかるからね。

だって、対頂角だから等しいんだもん。

 

相似証明問題

 

ってことで、

  • AO : CO = 3 : 6 = 1 : 2
  • DO : BO = 5 : 10 = 1 : 2
  • 角AOD = 角COB

になるから、相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

がつかえそう。

 

相似証明問題

 

以上をふまえて、相似の証明の書き方通りにかいてやると、

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△AOD と△CODについて

仮定から、

AO:CO = 3 : 6  = 1 : 2 ・・・①

DO:BO =  5 : 10  =  1:2  ・・・ ②

対頂角は等しいので、

∠AOD = ∠COB・・・ ③

①②③より、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、

△ABC ∽ △DEF


 

相似証明問題

 

になるね。

 

 

パターン2. 「ひねくれ回転型」

つぎの相似証明問題のパターンは、

ひねくれ回転型

だ。

 

相似証明問題

 

これは文字通り、

図形が回転していて、相似がみえにくくなってる問題ね。

 

たとえば、相似なイラスト同士だったら回転していても、

どことどこが対応するかわかりやすいよね。

特徴があるんだもん。

 

相似証明問題

 

でも図形だと、そうはいかない。

向きが変わるだけでわからなくなっちゃうんだ。

 

たとえば、つぎのような証明問題。

 


証明問題2.

つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、

その相似を証明しなさい。

相似証明問題


 

このタイプの証明問題では、

面倒でも別々に切り離して、

対応する辺や角度を確認してみるといいよ。

 

相似証明問題

 

すると、

△ABCと△ACDが相似ってことがわかるね。

なぜなら、

  • 角ABC = 角ACD
  • 角BAC = 角CAD

になって、2組の角がそれぞれ等しいっていう相似条件がつかえるからね。

 

相似証明問題

 

えっ。図形を回転させるのがむずかしいって!??

 

そんなときは、

対応する辺や角を大きさ順に、

「大中小」とか「長中短」とか

っていう順序をつけるといいよ。

 

相似証明問題

 

こんなかんじで、ひねくれて回転している図形をなんとかして、

対応する辺の順番にそろうように回転させてみてね。

 

相似証明問題

 

実際に証明をかいてみると、こんな感じになるよ↓↓

 


△ABCと△ACDについて

仮定より

∠ABC = ∠ACD ・・・ ①

共通の角なので、

∠BAC = ∠CAD・・・②

①・②より、

2つの角がそれぞれ等しいので、

△ABC ∽ △ACD


 

相似証明問題

 

 

パターン3. 直角三角形から垂線

最後の相似の証明のパターンは、

直角三角形で垂線がおろされてる問題

だ。

 

相似証明問題

 

 

たとえば、つぎの相似の証明問題だね。

 


証明問題3.

つぎの図形のなかから相似な図形をさがして、

相似であることを証明しなさい。

相似証明問題


 

このさっきの相似の証明問題とおなじ。

対応する辺・角が重なるように回転させればいいんだ。

 

わかりやすいように、△ABDを△ABCの外にとりだして回転させてみると、

 

相似証明問題

 

 

あら!

△ABCと△DBAが相似っぽい!

 

相似証明問題

 

なぜなら、

  • 角BAC = 角BDA = 90°
  • 角ABC = 角DBA (共通)

だからね。

2組の角がそれぞれ等しい

っていう相似条件が使えることになるんだ。

 

この証明をちゃんとかいてやると、こうなるよ↓↓

 


△ABCと△DBAについて

仮定から、

∠BAC = ∠BDA = 90°・・・①

共通なので、

∠ABD = ∠DBA・・・②

①②より、

2組の角がそれぞれ等しいので

△ABC  ∽  △DBA


 

相似証明問題

 

 

まとめ:相似の証明問題の基本は3パータン!

相似の証明問題はめんどくさそうにみえるけど、じつは、

どの問題もよく似ていて、

パターンがみえるんだ。

なれるまでたくさん相似の証明問題をといてみよう。

それじゃあ!

Drリード


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