5ステップでわかる!円錐が滑らずに転がる問題の解き方

円錐が転がる問題の解き方を教えてほしい!

この記事を書いているKenだよ。下痢に、勝ったね。

 

中学数学ででてくる円錐の問題には

とかいろいろあるけど、もう1つでてきやすいのが

円錐を転がす問題

だね。

例えば次のような問題↓

 

わざわざ円錐を転がすぐらいだから難しそうだけど、ゆっくり解いていけば大丈夫。

 

Step1. 円錐の転がった距離を求める

まずは円錐の転がった距離を求めてみよう。

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図でいうと、この円の円周の長さだね↓

円錐が転がらずに回ったとすれば、円錐の底面のふちが移動した距離は、

回転数 × 底面の円周の長さ

で求められるよ。

 

この問題だと、

  • 回転数 = 4
  • 底面の円周長さ = 半径4 cm × 2× 円周率π = 8π

だから、

回転数 × 底面の円周の長さ

= 4 × 8π

= 32π

になるね。

 

Step2. 母線の長さを求める

次は母線の長さを求めよう。

母線とは、「円錐の頂点から底面への長さ」のことだね。

この母線を求めるためには

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母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離

という方程式を作ればいいよ。

 

母線をrとしてやると、

母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離2πr = 32π

r = 16 cm

となって、母線の長さは16 cm になるはずだ。

 

Step3. 展開図をかいてみる

母線が16 cm とわかったから、問題の円錐はこんな感じになってるね↓

ここで冷静になって、側面積を求める前に円錐の展開図をかいてみよう。

 

円錐の展開図は

  • 側面の扇形
  • 底面の円

でできているよね?

つまり、円錐の側面積は「扇形」になるわけだ。

扇形の面積の求め方は、

半径×半径×中心角÷360

で求められる。

だから、面積を求めるためには「扇形の中心角」が必要になってくるんだね。

 

Step4. 側面の扇形の中心角を求める

側面の扇形の中心角を X として方程式を作ってみよう。

扇形の弧の長さ = 底面の円周の長さ

という方程式を作って、中心角を求めればいいね。

例題では、

16× 2π × X ÷ 360 = 8π

という式ができて、

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X =90°

になるはず。

扇形の中心角の求め方」がいまいちわからない時はこの記事で復習してみてね↓

 

Step5. 側面積を求める

いよいよ扇形の面積の公式を使って、側面積を求めていこう。

扇形の面積の公式は

半径×半径×円周率×中心角÷360

で求められるから、

16の2乗×π ×90÷360

= 64π [cm²]

が正解だね。

 

 

円錐が転がっても動ずるな!

こんな感じで、円錐が転がっちゃう応用問題もステップを踏んでやれば大丈夫。

転がる問題を解くために必要なのは、

  • 円錐の展開図の書き方
  • 扇型の中心角の求め方
  • 扇型の面積の求め方

の3つだけ。

ひるまずにチャレンジしてみてね。

 

そんじゃねー

Ken

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2 個の質問と回答

  • 108πではなく64πではないですか?
    確認よろしくお願いします
    16の2乗は256で90/360=1/4
    よって256✖️1/4✖️π=64π

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