【中学数学】相似の証明問題の書き方がわかる3ステップ

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相似の証明問題の書き方ってあるの??

どうも、Drリードだよ。

 

中3数学の図形では、

図形と相似

を勉強してくよね。

この単元のなかでもやっかいなのが、

相似の証明問題

だ。

まず、証明とか苦手なのに、

図形の相似を証明しなきゃいけないときてる。

正直、きちいね。

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でもね、じつは、

相似の証明問題には書き方のルールがあるんだ。

これならどんな相似の証明問題もイチコロさ。

 

 

相似の証明問題を書く前に準備する2つのこと

相似証明問題の書き方を紹介していく前に、

2つのことをやっておこう。

  1. 図形に印をつけろ
  2. 相似な三角形をさがす

 

つぎの相似の証明問題で練習してみようね。

 

 


練習問題

つぎの2つの三角形が相似であることを証明しなさい。

 

相似 証明問題

 

ただし、

  • AB = 5 cm
  • BC = 6 cm
  • DE = 10 cm
  • EF = 12 cm
  • 角B = 角C = 30°

とします。


 

 

Step1. 図に印を書き込む

まずは、

問題でわかってる条件(仮定)

を図にかきこんでみよう。

 

練習問題では、

  • 三角形の辺の長さ
  • 三角形の角度

がわかってたよね??

さっそく書き込んでやると、こうなる↓↓

 

相似 証明問題

 

んで、

同じ角度・辺の長さ同士に、「同じ印と色」をつけてやると、

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こうなるね↓↓

 

相似 証明問題 書き方

 

相似 証明問題 書き方

 

 

 

Step2. 相似な三角形をさがす

つぎは、相似な三角形をさがそう。

三角形の相似条件にあてはまる2つの三角形をさがせばいいのさ。

念のため、三角形の相似条件を確認しておくと、

  • 3組の辺の比がすべて等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

だったよね??

 

ってことで、練習問題をみてみると、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

がつかえそうってことに気づかない??

 

相似 証明問題 書き方

 

だって、三角形の2組の辺の比が、

  • AB : DE = 5:10 = 1 :2
  • BC : EF  = 6 : 12 = 1 : 2

で両方1:2で等しいし、

その間にはさまってる角の、

  • 角B
  • 角E

が両方30°になってるからね。

 

えっ。簡単すぎるって??!

本番の証明問題はもっと複雑でみつけにくいよ。

まだまだ油断大敵。

 

 

相似の証明問題の書き方がわかる3ステップ

それじゃあ、相似の証明を実際にかいてみよう。

書き方はつぎの3ステップ。

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  1. 図形を宣言
  2. 自分でみつけた根拠をかく
  3. 相似の条件と式をかく

相似 証明問題 書き方

 

 

Step1. 使う図形を宣言する

まずは、どの図形で相似を証明するのかを宣言しよう。

 

相似の証明問題では、おもに、

準備でみつけた「相似になりそうな三角形」を宣言することが多いね。

 

練習問題では、

△ABC と△DEFが相似疑惑だったよね??

 

相似 証明問題 書き方

 

だから、証明のいちばん最初に、

△ABCと△DEFについて、

って宣言すればいいんだ。

 

 

Step2. 相似の根拠をかく

つぎは、

図形が相似になる根拠をかいていこう。

図や問題文からわかってることをかけばいいよ。

相似条件にあてはまる根拠をかいていけばいいのさ。

 

まずは、仮定からわかることを書いていこう。

問題文の中に書かれていることを数式にしてみよう。

 

 

練習問題では仮定として、

  • AB : DE = 5:10 = 1 :2
  • BC : EF  = 6 : 12 = 1 : 2
  • 角B = 角E

がわかってたよね??

 

相似 証明問題

 

 

この仮定だけで相似条件でつかえそうだから、

証明の根拠はこれだけでいいんだ。

 

 

Step3. 相似条件・式をかく

相似の証明の最後では、

なぜ、相似がいえるのか??

という相似条件と、

宣言した図形が相似であること

を記号であらわしてみよう。

 

練習問題で言うと、

△ABCと△DEFが相似になってたね??

つかった相似条件は、準備でもみてきたように、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

だ。

これにより、

△ABC ∽ △DEF

がいえるってかけばいい。

これで相似の証明はおわり!

 

 

実際に相似の証明をかいてみよう!

それじゃあ、この書き方で相似の証明をかいてみよう。

こんなかんじになるよ↓

 

————————————————————————

△ABCと△DEFについて

仮定より、

AB:DE = 5:10 = 1:2 ・・・①

BC:EF = 6:12 = 1:2 ・・・②

∠ABC = ∠DEF  ・・・③

①②③より、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、

△ABC ∽ △DEF

————————————————————————

 

 

まとめ:相似の証明問題の書き方は使いまくっておぼえろ!

最後にもう一度復習しておこう。

相似の証明問題を書く前の準備は、

  • 図形に印をつける
  • 相似な三角形をさがす

だったね。

んで、相似証明問題の書き方は、

  • 図形を宣言
  • 相似の根拠をかく
  • 相似条件、相似の式をかく

の3ステップ。

これで何とか道は開けるよ。

 

相似 証明問題 書き方

 

何がわかっていて、あと何がわかれば、

相似の条件がそろうのか考えてみよう。

証明を書き始める前にしっかり用意してね。

 

次は「相似の証明問題でマスターしておきたい3つのパターン」について話す予定だよ。

相似の証明を極めたいやつは読んでみてくれ。

それじゃあ、

 

Drリード


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