【中2数学】平行四辺形の性質がわかる3つの証明

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平行四辺形の性質の証明がよくわからん??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。パイナップルに埋もれたい。

 

平行四辺形の性質には次の3つがあったよね。

  • 2組の向かいあう辺はそれぞれ等しい
  • 2組の向かいあう角はそれぞれ等しい
  • 対角線はそれぞれ中点で交わる

 

こいつらはむちゃ便利だ。

だって、

「平行四辺形」だったら、

向かいあう辺・角が等しいっていえちゃうんだからね。

 

平行四辺形の性質 証明

 

しかも、対角線が中点でまじわるんだって。

 

平行四辺形の性質

 

こいつらを使えば、

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平行四辺形の問題なんて瞬殺さ!

もー、最高だね・・・・・・

 

 

 

だがしかし。

なんで「平行四辺形の性質」って使えるんだろう??

便利すぎて怪しい。

詐欺かって思うよね??

 

そこで今日は、

平行四辺形の性質の証明を解説して、

疑問を解消していこう!

 

 

平行四辺形の性質がわかる3つの証明

平行四辺形の性質を証明するには、

三角形の合同をつかうよ。

しかも、3組の合同を証明しなくちゃいけないんだ。

 

平行四辺形ABCDがあって、

対角線の交点をMとしよう。

 

平行四辺形の証明 性質

 

 

このとき、△ABCと△ADCと、

 

平行四辺形の性質 証明

 

△ABDと△CDB、

 

平行四辺形の性質 証明

 

△ABMとCDMの合同を、

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平行四辺形の性質 証明

 

を証明していくんだ。

こいつらの合同がいえれば、

平行四辺形の性質を証明できるってわけ。

順番にみていくよー

 

 

証明1. 「2組の向かい合う辺の長さは等しい」

まずは、平行四辺形の性質の、

2組の向かいあう辺の長さは等しい

を証明していこう。

 

  • △ABC
  • △CDA

の三角形の合同を証明していくよ!

 

平行四辺形の性質 証明

 

 

△ABCと△CDAにおいて、

四角形ABCDは平行四辺形だから、

AD // BC・・・・(1)

だね。

平行線の性質より錯角が等しいから、

角ACB = 角CAD・・・・(2)

になる。

 

平行四辺形の性質 証明

 

同じように、

AB // CDより、

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錯角が等しいから、

角BAC =  角DCA・・・・(3)

 

平行四辺形の性質 証明

 

んで、

辺ACは共通だから、

AC = CA ・・・・・(4)

になるね。

 

(2)、(3)、(4)より、

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABC ≡ △CDA

になるね。

 

また、

対応する辺の長さが等しいから、

  • AB = CD
  • BC = DA

になる。

 

これで、平行四辺形の性質の、

「2組の辺の長さがそれぞれ等しい」

ってやつが証明できた。

 

平行四辺形の性質 証明

 

 

証明2. 「2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい」

つぎは2つめの、

2組の向かいあう角の大きさがそれぞれ等しい

の証明だ。

 

さっき証明した、

△ABC ≡ △CDA

をつかおう。

対応する角がそれぞれ等しいから、

角ABC = 角CDA・・・・(5)

ってことがいえる。

 

平行四辺形の性質 証明

 

△ABC と△CDAおなじように、

△ADCと△CBAの合同

も証明できる。※ここでは省略するね。

 

平行四辺形の性質 証明

 

こいつらでも対応する角が等しいから、

角BAD = 角BCD・・・・(6)

ってことがいえるんだ。

 

平行四辺形の性質 証明

 

(5)・(6)より、

  • 角A = 角C
  • 角B = 角D

がいえる。

よって、

2組の向かいあう角の大きさがそれぞれ等しい

っていう性質を証明できるんだ。

 

 

証明3. 「対角線は中点でまじわる」の証明

最後は、

対角線はそれぞれの中点で交わる

という性質を証明していくよ。

 

ここでは、

△ABMと△CMDの合同

を証明していくんだ。

 

平行四辺形の性質 証明

 

△ABMと△CMDにおいて、

さっき証明した、

「2組のむかい辺はそれぞれ等しい」

っていう性質をつかうと、

AB = CD ・・・・(1)

ってことがわかる。

 

AB//CDより、錯角が等しいから、

角BAM = 角DCM・・・・(2)

角ABM = 角CDM・・・・(3)

 

平行四辺形の性質 証明

 

(1)、(2)、(3)より、

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABM  ≡ △CDM

になる。

よって、

対応する辺はそれぞれ等しいから、

  • AM = CM
  • BM = DM

になるよー!

 

平行四辺形の性質 証明

 

つまり、

平行四辺形の対角線は中点で交わるんだ。

 

おめでとう!

平行四辺形の性質を3つ証明できたね。

 

 

まとめ:平行四辺形の性質は三角形の合同の証明から!

平行四辺形の性質の証明はシンプル。

ぜーんぶ、

三角形の合同

からきているんだ。

合同な図形をしっかり見極めて、

ゆっくり証明していこう。

そんじゃねー

Ken

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