【保存版】三角形の合同条件と相似条件の6つのまとめ

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三角形の合同条件と相似条件を一気に覚えたい!

こんにちは!この記事を書いてる Kenだよ。分子を振動させたね。

 

中2と中3数学の平面図形で、

三角形の「合同条件」と「相似条件」

を勉強してきたよね。

 

合同条件 相似条件

 

両方とも数学の証明のために必要なアイテムだから、テスト前には覚えなきゃいけないね。

 

念のためおさらいしておくと、

 

【三角形の合同条件】

  • 3つの辺の長さがそれぞれ等しい
  • 2組の辺の長さとその間の角が等しい
  • 両端の角とその間の辺の長さがそれぞれ等しい

【三角形の相似条件】

  • 3組の辺の比がすべて等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 2つの角が等しい

だったね。

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でもさ、この2つの条件ってちょっと似てない??

ごちゃ混ぜにしちゃうことあるよね。

 

そこで今日は、

三角形の合同条件と相似条件をごちゃ混ぜにしないために、整理して覚えてみよう!

合同条件と相似条件の似ているところと、違うところを中心に復習していくよ。

 

 

三角形の合同条件と相似条件を3つの種類にまとめてみた

三角形の合同条件と相似条件をうまく覚えるために、3つの種類に分類してみたよ。

  • 3つの何かが等しい条件
  • 2つの角が等しい条件
  • 2つの辺を角が挟んでいる条件

 

 

3つの何かが等しい条件 2つの角が等しい条件 2辺を角で挟んだ条件
合同条件 3つの辺がそれぞれ等しい 両端の角とその間の辺が等しい 2つ辺とその間の角が等しい
相似条件 3つの辺の比がすべて等しい 2つの角がそれぞれ等しい 2つの辺の比とその間の角が等しい

 

種類1. 「3つの何かが等しい条件」

まず1つ目の条件の種類は、

3つの「何か」が等しいやつだ。

合同条件と相似条件をそれぞれ見ていこっか。

 

合同条件1.「3つの辺の長さがそれぞれ等しい」

「3つの辺の長さ」がすべて等しいっていう条件は合同条件だ。

この条件を満たす三角形たちは合同である、ってことが言えるわけね。

 

たとえば、次の2つの△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件
  • AB = 6 cm
  • BC = 8 cm
  • AC = 7 cm

と、

 

  • DE= 6 cm
  • EF = 8 cm
  • DF = 7 cm

この2つの三角形は合同って言えるんだ。

なぜなら、すべての3つの辺の長さがそれぞれ等しいからね。

 

 

相似条件1. 「3つの辺の比が等しい」

「3つの辺の比」がすべて等しいとき、2つの三角形は相似って言えるんだ。

 

たとえば、2つの△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件
  • AB = 6 cm
  • BC = 8 cm
  • AC = 7 cm

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  • DE= 12 cm
  • EF = 16 cm
  • DF = 14 cm

だ。

 

この2つの三角形は相似になってるはず。

なぜなら、

  • AB : DE = 6: 12 = 1:2
  • BC : EF = 8:16 = 1:2
  • AC : DF = 7:14 = 1:2

になっていて、すべての辺の比が全部1:2で等しくなってるね。

 

 

種類2. 「2つの角が等しい条件たち」

つぎの条件は、2つの角が等しい条件だ。

2つの角が等しいことを使った条件が、なんと偶然にも合同条件と相似条件に1つずつ存在しているんだ。

 

合同条件2. 「1つの辺とその両端の角が等しい」

まず三角形の合同条件には、

1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい

っていう条件があるよ。

つまり、

1つの辺が等しくて、それを挟んでいる2つの角が等しかったら合同が言えるってわけね。

 

たとえば、つぎの2つの△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件

 

  • BC = 8 cm
  • ∠ABC = 48°
  • ∠ACB = 50°

と、

 

  • EF = 8 cm
  • ∠DEF = 48°
  • ∠DFE = 50°

 

この2つの三角形はへんのひとつの辺の長さが等しくて、その両端の額の大きさが等しいよね。

だから、この2つの三角形は合同であると言えるんだ。

 

 

相似条件2. 「2つの角がそれぞれ等しい」

ふたつめの相似条件は、2つの角がそれぞれ等しいっていうやつだね。

この相似条件は1番簡単で、でてきやすい相似条件なんだ。

 

たとえば、次の△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件
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  • ∠ABC = ∠DEF = 48°
  • ∠ACB=∠DFE = 50°

この場合、2つの三角形は、「2つの角がそれぞれ等しい」っていう相似条件に当てはまるから、相似であるといえるんだ。

 

 

種類3. 2つの辺が角を挟んでいる条件

つぎは、2つの辺が角を挟んじゃってる条件だ。

合同条件と相似条件には2つあるよ。

 

合同条件3.「 2つの辺とその間の角がそれぞれ等しい」

最後の合同条件は、

2つの辺との間の角がそれぞれ等しい

ってヤツ。

等しい辺たちが等しい1つの角を挟んでいれば、2つの三角形は合同って言えるんだ。

 

たとえば、つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件
  • BC = 8cm
  • AB = 6cm
  • ∠ABC = 48°

と、

  • EF = 8cm
  • DE = 6cm
  • ∠DEF = 48°

この2つの三角形は、2つの辺(BCと EF、 ABとDE)が等しくて、

なおかつ、その辺に挟まれた間の角(∠ABC と∠DEF)が等しいから合同って言えるんだ。

 

 

相似条件3. 「2組の辺の比とその間の角が等しい」

最後の相似条件は、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

ってヤツね。

 

つぎの△ABCと△DEFを想像してみて。

合同条件 相似条件
  • BC = 8 cm
  • AB = 6 cm
  • ∠ABC = 48°

と、

  • EF = 24 cm
  • DE = 18 cm
  • ∠DEF = 48°

 

この2つの三角形は相似なんだ。

なぜなら、

  • BC :EF = 8 : 24 = 1 :3
  • AB : DE = 6 : 18 = 1:3

で2組の辺の比が1:3で等しくなっていて、なおかつ、その2辺の間に挟まってる角の、∠ABCと∠DEF が等しくなってるからね。

 

 

まとめ:三角形の合同条件と相似条件は同じところもあれば違うところもある

三角形の合同条件と相似条件は思い出せたかな??

最後にもう一回復習してみよう。

 

3つの何かが等しい条件 2つの角が等しい条件 2辺を角で挟んだ条件
合同条件 3つの辺がそれぞれ等しい 両端の角とその間の辺が等しい 2つ辺とその間の角が等しい
相似条件 3つの辺の比がすべて等しい 2つの角がそれぞれ等しい 2つの辺の比とその間の角が等しい

 

どちらも証明問題に必要な条件だから、しっかりテスト前には覚えておこうね。

そんじゃねー

Ken

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12 件の質問

  • 相似の証明ってこの単元が終わった後も使いますか?
    例えば、円のところとかで

  • >相似の証明ってこの単元が終わった後も使いますか?
    例えば、円のところとかで

    もちろん!今のうちにマスターしておこうぜ!

  • 例えば、アとイが合同なのを証明したいとき、
    最初にアとウが合同だから…ってはじめることありますか。
    変な文ですみません

  • >例えば、アとイが合同なのを証明したいとき、
    最初にアとウが合同だから…ってはじめることありますか。
    変な文ですみません

    あるね!

  • >相似条件と合同条件って、証明問題でどちらも必要ですか??

    必要だね!
    証明問題はたいてい、2つの図形の合同か相似を証明するからね。もちろん、それ以外の証明もあるけど

  • 二角夾辺、二辺夾角、三辺相当 斜辺と一鋭角の合同、斜辺と他の一辺合同が難しすぎてわかりません(泣)どういう意味なのか教えてください

  • >二角夾辺、二辺夾角、三辺相当 斜辺と一鋭角の合同、斜辺と他の一辺合同が難しすぎてわかりません(泣)どういう意味なのか教えてください

    一旦、直角三角形の合同条件は脇に置いておいて、
    三角形の合同条件を頭に叩きこもう!
    直角三角形の合同条件は別に知らなくても三角形の合同条件で証明できちゃうからね

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