高さがわからない台形の面積の求め方がわかる3ステップ

 

数学の図形の問題には色々な種類があるけど、なぜか狙われやすいのが

高さがわからない台形の面積を求める問題

だね。

例えば次のような問題↓

 

 

このままだと台形の高さが分からないから、台形の面積の公式が使えねえ!

高さがわからないからかけられないんだよ。

 

高さがわからない台形の面積の求め方

この手の問題は次の5ステップを踏んでみよう。

 

Step1. 上の頂点から垂線を底辺に下ろす

まず上の辺から底辺に垂線をおろしちゃおう。

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おろし方は簡単で、上の2つの頂点からまっすぐ下に向かって垂線を引けばいいよ。

ってことで、垂線は2本。

垂線と下の辺の交点をそれぞれ、

  • H
  • I

としてみようか。

 

Step2. 長方形を見つける

するとさっきまで台形1つだった図形が、

  • 2つの直角三角形
  • 1つの長方形

の3つに分かれるはず。

なぜ四角形AHIDが長方形なのかというと、

4つの辺が互いにそれぞれ平行

という平行四辺形の条件を満たしていて、かつ、

すべての内角が等しい(それぞれ90度)

だからだね。

 

長方形の性質には「向かいあう辺の長さは等しい」ってやつもあったね。

つまり長方形AHIDのHIは向かい合ったADの長さに等しいことになる。

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ってことで、

HI = AD = 9 cm

だ。

 

左の三角形の底辺をXとする

次にやるべき事は、底辺の左下の線分の長さをxと置いてみることだ。

この問題の例でいうと、

BH = x cm

としてみよう。

するとm右の直角三角形の底辺ICの長さもxで表せるね。

ICの長さは、

BC – HI – BH

= 30 – 9 -x

= 21 – x

になるね。

 

2つの直角三角形の高さが等しいことを利用する

ここで、

両サイドにできた直角三角形の高さに注目。

四角形AHIDは長方形だから、向かい合う辺の長さは等しい。よって、

AH = DI

なはず。

つまり、

2つの直角三角形(ABHとDCI)の高さは等しいんだ。

 

この事実を利用して、二次方程式を作ってみよう。

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2つの直角三角形の高さをそれぞれxで表して、イコールで結んであげればいいんだ。

 

三平方の定理を2つの直角三角形で使うと、

AH = DI

AB² – BH²  = DC² – IC²

17² – x²  = 10² – (21-x)²

x = 15

と、xの値である「BHの長さ」が出てくるね。

 

高さを求める

あとは三平方の定理を使って、台形の高さを求めるだけだね。

左の直角三角形ABHに注目してみると、

  • AB = 17 cm
  • BH = 15 cm

とわかっているから、残りの辺の長さのAHは、

AH² = AB² – BH²

AH² = 17² – 15²

AH = 8

になるね。

つまり、この台形の高さは8 cmってわけ。

 

台形の面積の公式を使う

ここまでで台形の高さが計算できたからあとは公式を使うだけ。

台形の面積の公式は、

(上辺+下辺)× 高さ ÷ 2

だったよね?

まんま公式を使ってやると、

(上辺+下辺)× 高さ ÷ 2

= (9 + 30)× 8 ÷ 2

= 156

したがって、この台形の面積は156 cm² なわけだ。

 

こんな感じで高さがわからない台形の面積も三平方の定理を屈指すれば解けるはず。

若干途中の二次方程式の解き方が難しくなるから、二次方程式の解き方もいっしょに復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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