高さがわからない台形の面積の求め方がわかる3ステップ

台形の問題にもいろいろある!

こんにちは!この記事を書いているKenだよ。引き、寄せたね。

 

図形の問題で、なぜか狙われやすいのが

「高さがわからない台形」の面積を求める問題

だね。

例えば次のようなやつ↓

 

 

たしか台形の面積の求め方は、

(上の辺+下の辺)×高さ÷2

だったはず。


台形の面積の求め方 公式

 

 

「上の辺」と「下の辺」の長さはわかってるけど「高さ」がわからないから、台形の面積の公式が使えねえ!

いったいぜんたい、どうすりゃいいんだろうね??

 

 

高さがわからない台形の面積の求め方

そういう時は次の5ステップを踏んでみよう。

 

Step1. 上の頂点から垂線を下ろす

上の辺から底辺に「垂線」をおろしちゃおう。

 

上の頂点から下に垂線を引けばいいよ。

ってことで、垂線は2本。

 

 

交点をそれぞれ、

  • H
  • I

としてみようか。

 

Step2. 長方形を見つける

さっきまで「台形1つ」だった図形が、

  • 2つの直角三角形
  • 1つの長方形

の3つに分かれるはず。

 

 

なぜ四角形AHIDが長方形なのかというと、

4つの辺が互いにそれぞれ平行


という平行四辺形の条件を満たしていて、かつ、

すべての内角が等しい(それぞれ90度)

からだね。

 

長方形の性質には「向かいあう辺の長さは等しい」ってやつもあった。

つまり、長方形AHIDの「HI」は向かい合った「AD」に等しいことになる。

ってことで、

HI = AD = 9 cm

だ。

 

左の三角形の底辺をXとする

「左下の線分の長さ」をxと置いてみよう。

この例題でいうと、

BH = x cm

だね。

 

 

すると、ICもxで表せるね。

ICの長さは、

BC – HI – BH

= 30 – 9 -x

= 21 – x

 

 

2つの直角三角形の高さが等しいことを利用する

ここで、

両サイドにできた「直角三角形の高さ」に注目。

四角形AHIDは長方形だから、向かい合う辺の長さは等しい。よって、

AH = DI

なはず。


つまり、

2つの直角三角形(ABHとDCI)の高さは等しいんだ。

 

この事実を利用して、二次方程式を作ってみよう。

2つの直角三角形の高さをxで表して、イコールで結べばいいんだ。

 

三平方の定理を2つの直角三角形で使うと、

AH = DI

AB² – BH²  = DC² – IC²

17² – x²  = 10² – (21-x)²

x = 15

と、「BHの長さ」が出てくるね。

 

 

高さを求める

あとは三平方の定理で「台形の高さ」を求めるだけ。

直角三角形ABHに注目してみると、

  • AB = 17 cm
  • BH = 15 cm

とわかっているから、残りのAHは、

AH² = AB² – BH²

AH² = 17² – 15²

AH = 8

になるね。

つまり、この台形の高さは「8 cm」ってわけ。

 

台形の面積の公式を使う

やっと台形の高さがわかったから、あとは公式を使うだけ。

台形の面積の公式は、

(上辺+下辺)× 高さ ÷ 2

だったよね?

まんま公式を使うと、

(上辺+下辺)× 高さ ÷ 2

= (9 + 30)× 8 ÷ 2

= 156

したがって、この台形の面積は「156 cm² 」なわけだ。

 

という感じで、「高さがわからない台形の面積」も三平方の定理を屈指すれば解けるね。

二次方程式の解き方がむずいから、二次方程式の解き方もいっしょに復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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