【簡単計算】循環小数を分数に変換する3つのステップ

循環小数を分数に変換したい!

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。大根は干すとうまいね。

 

循環小数の問題でよくでてくるのは、

循環小数を分数に変換する問題

だ。

 

これは文字通り、

永遠につづく循環小数

分数

で表せって問題なんだ。

 

循環小数 分数 変換

 

たとえば、こんな感じのやつね↓↓

 

例題

循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。

 

循環小数 分数 変換

 

 

求め方がわからんと苦戦する。

だけど、やり方はすごく簡単なんだ。

いっかいマスターすれば怖いものなしさ。

 

そこで今日は、

循環小数を分数になおす方法

をわかりやすく解説していくよ!

 

 

 

循環小数を分数に変換する3ステップ

3ステップでいけちゃうね。

  1. リピート数を数える
  2. 方程式をつくる
  3. 方程式をとく

例題をいっしょに解いていこう!

 

例題

循環小数0.123412341234…..を分数で表しなさい。

循環小数 分数 変換

 

 

Step1. リピート数を数える

まずは、

繰り返しになってる数をかぞえてみよう。

 

例題の循環小数をみてみて。

0.123412341234…

は、

1234の「4ケタ」が繰り返えされてるね??

 

循環小数 分数 変換

 

だから、リピート数は「4」だ。

 

あ、ちなみに、この循環小数はこうやって表せるんだ。

⇒くわしくは「循環小数の表し方」をみてみてね

 

 

循環小数 分数 変換

 

これが第1ステップ。

 

 

Step2. 方程式を2つ作る

つぎは、方程式を2つたててみよう。

 

えっ。

そんなに方程式なんて立てられないって!??

そんなことはないよ。

じつは、

循環小数の方程式のたてかたはいつも同じなんだ。

 

もとの循環小数をx、繰り返しになってるケタ数をaとしよう。

このとき、

  • 10^a X = 10^a × 循環小数
  • x = 循環小数

っていう2つの方程式をつくればいいのさ。

 

循環小数 分数 変換

 

例題で繰り返しになっている数は、

4ケタ

だったよね??

 

だから、a  = 4 、循環小数 = 0.123412341234…を

10^a X = 10^a × 循環小数

に代入してやると、

10^a X = 10^4 × 循環小数
10000X = 10^4 × 0.123412341234…
10000X = 1234.12341234…

になるね。

 

循環小数 分数 変換

 

んで、もう一個の式は、

X = 循環小数

のまんま。

X = 0.123412341234…

になるね。

 

よって、例題ででてくる2つの方程式は、

  • 10000X = 1234.12341234…
  • X = 0.123412341234…

だ!

 

循環小数 分数 変換

 

 

 

Step3. 方程式を引き算する

つぎは、2つの方程式を引き算しよう。

「大きいほう」から「小さいほう」をひけばいいんだ。

つまり、

(Xに10のa乗をかけた方程式)-(Xの方程式)

っていう計算だ。

 

循環小数 分数 変換

 

例題でも2つの方程式を引くと、

 

10000X = 1234.12341234…
– )X = 0.123412341234…
————————————–
10000X – X = 1234.1234… – 0.12341234…
9999X = 1234

 

循環小数 分数 変換

 

になるね!

 

 

Step4. 方程式をとく

あとは方程式をとくだけ。

xだけの一次方程式だから簡単だね。

 

例題でも、

9999x = 1234

をといてみよう。

xの係数「9999」で両辺をわってやると、

9999x ÷ 9999 = 1234 ÷ 9999
x =  9999分の1234

になるね!

 

循環小数 分数 変換

 

よって、循環小数0.12341234…は、

9999分の1234

って分数に変換できちゃうってわけ!

 

循環小数 分数 変換

 

どう??

しっくりきたかな!?

 

 

 

まとめ:循環小数の分数変換に必要なのは一次方程式!

循環小数を分数に変換できた??

使ってるのは、中1数学でならう、

一次方程式の解き方

だけだ。

やってること自体は簡単だから、計算問題をたくさんといてみよう!

そんじゃねー

Ken

質問する

質問と回答

  • (ab+1)(a+1)(b+1)の因数分解を教えてください

  • >(ab+1)(a+1)(b+1)の因数分解を教えてください

    もう因数分解できてるね!

  • >循環小数で0.3858585…を分数にする方法

    まずは循環して何度も出現している小数の桁を見つけてみよう!

  • -3.972(循環してるのは7と2)
    の分数への仕方を教えてください!!

  • >-3.972(循環してるのは7と2)
    の分数への仕方を教えてください!!

    まずはリピート数から探してみようぜ

  • 約分できる時は約分しなくてはいけないのですか?

  • 0.99・・・・・、1.99・・・・・など、〇.99・・・・・は、分数にできません。なぜですか。

  • できるよ!数字の後ろまで小数点が2つ移動できそうな場合は分母は100。
    そして分子に数字をのせればいいね

  • しおんです。上記の質問は、
    0.9・・・(9の循環)など、「少数以下が9の循環は分数にできません。」ということです。
    例えば、0.9・・・は、1になってしまいます。

  • 1/9=0.111111…
    9×1/9=9×0.111111…
    1=0.999999…
    詳しくは等比級数ね!

  • 0.999…を分数に直すことだけど、
    単純に9が連続するだけの単純循環だと、
    0.999…=1-1/10^n (nは9の個数) だから 0.999…<1 で差は1/10^nなでは?

    そして、例えば0.111…が1/9の分数から生じる分数由来の循環小数の場合は、
    勿論、0.111…(1/9分数由来)の場合は この9倍は1 ですが
    単純に 小数以下が1のが連続する単純循環の数ならば
    0.111…=1/10-(1/9)/10~n となって、0.111…<1/9なのではないですか。
    n→∞のとき、1/10^n→0 とおっしゃるかもしれませんが、大小関係は成立しますよね。

  • 1/9=0.111111…は余りのある計算の連続ですよね。
    いわゆる、分数由来の循環小数
    ですので、
    単に0.の次に1が連続する循環小数は
    0.111111…=1/9(1-1/10^n)<1/9
    なのではないでしょうか?
    2021.03.31 滝ちゃんの質問

  • めっちゃわかりやすかったです!
    助かりました!

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