平行線と線分の比を証明しなきゃいけない？？
ある日、数学が苦手なかなちゃんは、
平行線と線分の比の証明問題に出会いました。
証明問題.
下の図形において、DE//BCです。
つぎの2つのことを証明しなさい。
- AB : AD = AC : AE = BC : DE
- AD : DB = AE : EC
平行線と線分の比の証明？？
あー、もうやだ！！
平行って、
わたしと数学みたい！
決して交わることのない者同士……って、
少しは歩み寄ろ？ね？
うわあっ！？
先生か、びっくりした……
だって、
今日の授業もわかんなかった。
平行だと線分の比が……
みたいな。
いきなり、
平行線と線分を語られても困るよね。
今日は、
平行線と線分の比について考えていこう！
うす！
平行線と線分の比の証明その1
平行線と線分の比の証明は、
2つあったよね？？
- AB : AD = AC : AE = BC : DE
- AD : DB = AE : EC
まず1つめの、
AB : AD = AC : AE = BC : DE
を証明していこうか。
色分けしてあると、
わかりやすい！
うん、
自分でも描いてみると覚えやすいよ。
証明のゴールをきめよう
この証明のゴールはなんだっけ？？
DEとBCが平行だと、
AD：AB
＝AE：AC
＝DE：BC
ってこと？
そう！
辺の比を証明したいってことね。
こういうときは、
相似を使おう！
相似ってことは、
二つの図形を比べるの？
そう。
この場合なら、
△ABCと△ADEだね！
うーん、
DEとBCが平行
が仮定かな？
「DE//BC」
って問題にかいてあるから！
おっ、いいね！
その仮定をつかって、
△ABCと△ADEの相似
を証明できるかな？？
うーん、あ！
おっ！
なにか降りてきたかな？
相似条件はなにをつかう？？
2組の角がそれぞれ等しいかな！
同位角で対応する2つの角が等しいし
お、
今日はキレっキレっだねー
その通り！
わーい
証明をかく
実際に証明をかいてみよう。
証明のネタを集めたし
うす！
でもちょっと怖い……
うす！
うーん、
こんな感じかな・・・？
【証明】
仮定より、
BC//DE … ①
△ABCと△ADEで、
①より同位角が等しいので、
∠ABC＝∠ADE…②
∠ACB＝∠AED…③
②・③より、
対応する２つの角が等しいので、
△ABC∽△ADE
相似な図形では、対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE
お、やるねー！
やった！
平行線と線分の比の証明その2.
おっと。
これでおわりじゃないよ！
平行線と線分の比は、
もう1つあったよね？？
AD : DB = AE : EC
ってやつか！！
そうそう！
うーん・・・・・
わ、わからない！
どうしたら証明できるの！？
補助線をひく！
図形は困ったら、
補助線を引くことが大切なんだ。
補助線？
そう！
Eから、ABと平行な直線を引いてみて。
平行線とBCの交点をFとするんだ。
ひ、ひけた！
どう？？
相似な図形がみえてこない？？
あああ！
△ADEと△EFC！！
なんで？？
AB//EFだから、
同位角が等しいことがつかえる！！
- 角DAE = 角FEC
- 角ADE = 角EFC
だ。
お、いいねー！
相似条件の、
2組の角がそれぞれ等しい
を使うわけね。
じゃあ証明かいてみてー
ういす！
【証明】
EからABに平行に引いた直線と、
BCとの交点をFとする。
仮定より、
BC//DE …①
AB//EF …②
△ADEと△EFCで、
①より同位角が等しいので、
∠ACB＝∠AED…③
同様に、AB//EFより同位角が等しいので
∠ABC＝∠ADE…④
また、BD//EFより、
∠ABC＝∠EFC…⑤
④・⑤より、
∠EFC＝∠ADE…⑥
対応する２つの角が等しいので、
△ADE∽△EFC
相似な図形では、
対応する辺の比がそれぞれ等しいので、
AE：EC＝AD：EF…⑦
また、四角形DBFEは、
①、②より平行四辺形で
向かい合う辺の長さが同じなのでBD＝EF…⑧
⑦・⑧より、
AE：EC＝AD：DB
できたぜ！姉御！
おっ。
やるじゃああん
まとめ：平行線と線分の比の証明も相似で攻略！
平行線と線分の比の証明も楽勝！
って思ってもらうのが、
今回の目的！！
証明のいいところは、
多少言葉の言い回しが違っても、
正解になるところ！
筋が通っていればいいのよ。
うんうん
証明は、
とにかく書いてみよう。
おかしくてもなんとかなる。
はい！
七転び八起きですね！
ということで、
今回のポイントをまとめよう。
- 困ったら補助線
- とりあえず文章にする
証明はなれれば大丈夫。
解けば解くほど上達するよ。
おまけの問題を作ってみたよ〜
【おまけ】
BC：DE＝AB：AD＝AC：AE なら、BC//DEとなる証明をしてみよう！
といてみます！
年齢不詳の先生。教育大学を卒業してボランティアで教えることがしばしば。
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