【中学数学】三角錐の高さの求め方がわかる4つのステップ

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三角錐の高さの求め方がわからない!

こんにちは、この記事をかいているKenだよ。ペプシはダイエット一択だね。

 

三角錐の高さを求めなさい!

っていう問題はたまに出てくるね。たとえば次のように出題されることがあるよ。

 

例題

つぎの三角錐ABCDがある。底面を三角形ACDとしたときの高さを求めて!

  • AB = 6 cm
  • BC = 6 cm
  • BD = 6 cm
三角錐 高さ 求め方

つまり、

頂点Bから三角形ACDにおろした垂線の長さを求めろ!

ってことだね^^

 

 

三角錐の高さの求め方がわかる4つのステップ

「三角錐の高さ」はつぎの4ステップで計算できるよ。

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Step1.  三角錐の体積を計算する!

まずは三角錐の体積を求めてみよう。

どの「底面積」と「高さ」を使っても大丈夫^^

 

例題でいうと、

  • 三角形ABCを底面
  • BDを高さ

とすれば三角錐ABCDの体積を求めることができるね。

求め方は「底面積×高さ×1/3」だから、

(6×6×0.5)×6×1/3

= 36 [cm^3]

になるね!

三角錐 高さ 求め方

 

 

 

Step2. 底面積を求める!

問題で指定されている「底面積」を求めよう!

例題では、

「三角形ACD」を底面とするときの高さ

っていう指定されているよね??

だから、三角形ACDの面積を計算してやればいいんだ!

三角錐 高さ 求め方

AC、AD、CDの長さを三平方の定理をつかって計算してみると、

ぜんぶ「6√2」になるよね。

三角錐 高さ 求め方

ってことは、三角形ACDは1辺が6√2の正三角形ってことだ!

三角錐 高さ 求め方
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こいつの面積を求めてあげよう。

三平方の定理をつかって高さを求めて(3√6)、面積を計算すると、

6√2×3√6×0.5

= 18√3 [cm^2]

になるね!

三角錐 高さ 求め方

 

 

 

 

Step3. 方程式をたてるっ!

三角錐の高さ(指定された底面からの)についての方程式をつくってみよう。

つまり、

「三角錐の高さ」を変数と置いた方程式ってことだね。

そいつを解けば、三角錐の高さが求められるってことになる。

 

例題をみてみよう。

頂点Bから三角形ACDに垂線をおろしたとき、三角形ACDと垂線の交点をHとする。

三角錐 高さ 求め方

このとき、三角錐ABCDの高さはBHになるよね。

BHの長さを変数とおいて方程式とたててやると、

18√3 × BH  = 36

三角錐 高さ 求め方

ってなるよ。

 

 

Step4. 方程式を根性でとく

あとはStep3でたてた方程式をといてあげるだけ!

方程式の解き方の基本を思い出しながら慎重にといてみてくれw

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三角錐 高さ 求め方

18√3 × BH  = 36

っていう方程式を解くと、

BH = 2√3/3

っていう解がゲットできるね。

これが「底面を△ACDとしたときの三角錐の高さ」だね!

おめでとう^^

 

 

まとめ:三角錐の高さは方程式をたてて算出するっ!

三角錐の高さの求め方はどうだった??

「体積」と「底面積」を計算して方程式をつくるだけさ。

慣れれば5分以内に高さをゲットできるようになるはずだ。

テスト前によーく復習しておこう!

そんじゃねー

Ken

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