3分でわかる!相似比から体積の比・表面積比を求める公式

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相似比から体積の比を求める公式ってあるの??

こんにちは!ぺーたーだよ。

 

相似の単元の勉強はどうかな??

相似の証明問題だったり、

相似比を求める問題が出たり

あれこれ大変だね。

 

今日はもう1つ新しい、

相似比をつかった体積の比の求め方

を解説するよ!

ついでに表面積の比の出し方も説明するから、

セットで覚えてあげよう。

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相似比をつかって体積比を求める公式

相似比から体積比をだすときは、

つぎの公式をつかってみよう。

 

それは、

相似比の3乗が体積比になるよ

っていう公式だ。

 

くわしくいうと、

2つの相似な立体があって、相似比がn:mのとき、

2つの立体の体積比は、

n^3 : m^3

になるってこと。

体積比 体積の比 公式

 

この公式で練習問題をといてみよう。

 


練習問題

次の円錐は相似の関係です。

体積比と表面積の比を求めてください。

体積比 体積の比 公式

 

この体積比の問題は、2ステップでとけちゃうんだ。

 

 

Step1. 相似比を求めよう

立体の体積比を求めるには、

相似比

が必要なんだ。

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練習問題をみてみると、

2つの円錐は相似である

ってかいてあるね。

わざわざ相似を証明する必要ないからうれしい!

 

さっそく相似比を求めてみよう。

対応する辺を「半径」として、相似比をもとめてみてね。

2つの円錐の底面の半径はそれぞれ、

  • 2 cm
  • 4 cm

だったよね??

ってことは、こいつらの相似比は、

2: 4

= 1: 2

になるんだ。

 

体積比 体積の比 公式

 

 

Step2. 体積比を計算

相似比が出たら、

体積比はとっても簡単!

 

体積比の公式の、

相似比を3乗してやると体積の比になる

を使えばいいのさ。

 

体積比 体積の比 公式

 

 

練習問題でも体積比の公式をつかっていこう。

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相似比は1:2っていうことがわかったね。

体積比はその相似比を3乗した、

1^3:2^3

= 1 : 8

になるね。

 

体積比 体積の比 公式

 

ってことで、

この2つの立体の体積比は「1 : 8」。

やったね!

 

 

体積比は何の役にたつの??

えっ。

体積比は何の役にたつのかって??

じつは、体積比がわかると、

「ある立体の体積」から「べつの立体の体積」が計算できちゃうんだ。

 

たとえば、さっきの練習問題で、

円錐Bの体積が80 [cm^3]だったとしよう。

体積比 体積の比 公式

 

この2つの立体の体積比は、

1: 8だったよね??

ってことは、

「円錐Aの体積」は「円錐Bの体積」の8分の1。

 

ってことは、円錐Aの体積は、

(円錐Bの体積)×1/8

= 10 [ cm^3 ]

になるんだ。

体積比 体積の比 公式

 

ね??

体積比をつかうと立体の体積がわかっちゃうんだ!

 

 

おまけ:相似比から表面積の比も求めてみよう!

相似比から体積比が求められたね!

おめでとう・・・・・・!!

っていうのはまだはやい。

 

じつは、練習問題の最後に、

表面積の比も求めなさい

ってかいてあるじゃん?

 

せっかくだから、表面積の比も相似比から計算してみよう。

ずばり、表面積の比の求め方は、

面積比の求め方といっしょ。

つまり、

相似比の2乗の比になってるのよ。

 

体積比 体積の比 公式

 

相似比が1:2の「円錐A・Bの表面積の比」は、

1^2 :  2^2

= 1 : 4

になるわけね。

 

体積比 体積の比 公式

 

もし、円錐Bの表面積が40 [cm^2]だったら、

円錐Aの表面積は10 [cm^2]

になるわけだね。

 

体積比 体積の比 公式

 

おめでとう!

相似比から表面積の比も求められたね!

 

 

まとめ:体積の比・表面積比の公式をしっかり覚えよう!

体積の比も、表面積の比も公式を覚えちゃえば楽勝。

しっかり公式を覚えてあげようね。

問題をときまくって段々なれていこう!

 

じゃあ、またね

ぺーたー

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12 件の質問

  • 10メートル角筏深さ7メートルと円形20メートル筏深さ10メートルの体積比を求めよ

  • 赤本の問題で解答を見ても分かりません。
    三角柱ABC-DEFの形をした透明な容器がある。この容器の側面は全て長方形で、AB=18cm,BC=6cm,∠ACB=90°,AD=16cmである。この容器を△ABCが底になるように置き、容器の底から高さ7cmの所まで水を入れ密封する。辺ABが斜辺です。
    Q.この容器を四角形ABEDが底になるように置いた時、容器の底から水面までの高さは何cm?
    比例式を作るところから分からないです。

  • >三角柱ABC-DEFの形をした透明な容器がある。この容器の側面は全て長方形で、AB=18cm,BC=6cm,∠ACB=90°,AD=16cmである。この容器を△ABCが底になるように置き、容器の底から高さ7cmの所まで水を入れ密封する。辺ABが斜辺です。
    Q.この容器を四角形ABEDが底になるように置いた時、容器の底から水面までの高さは何cm?
    比例式を作るところから分からないです。

    まずは△ABCが底になってる場合に入っていた体積を計算してみよう。
    次は、四角形ABEDを底面にした時にその体積になるような高さを求めてあげればいいんだよ

  • 直径1メートルの鉄球を全て溶かして、直径5センチの鉄球を作ります。この時、直径5センチの鉄球の表面積の合計は元の直径1メートルの鉄球の表面積の何倍になりますか。という問題がわかりません。
    教えてください…。

  • >直径1メートルの鉄球を全て溶かして、直径5センチの鉄球を作ります。この時、直径5センチの鉄球の表面積の合計は元の直径1メートルの鉄球の表面積の何倍になりますか。という問題がわかりません。
    教えてください…。

    球の表面積の求め方を復習してみよう!
    あとは直径1mと5cmの2通りの場合で計算してやればいいんだ

  • 半径・高さがおなじ円錐と円柱があります。
    円錐の半分の高さまで水が入っていて、
    その水を円柱に移すとき、水の高さの求め方を教えてください。

  • >半径・高さがおなじ円錐と円柱があります。
    円錐の半分の高さまで水が入っていて、
    その水を円柱に移すとき、水の高さの求め方を教えてください。

    まずは水の体積を計算してみよう。
    見取り図をかいて状況を整理するとわかりやすいかも。
    あとはその体積が円柱の場合どうなるのかを方程式で解いてみよう

  • 2つの立方体a.bがあり、体積比は8:27。
    bの立方体の一辺の長さを12㎝とするとき、aの立方体の一般の長さを求めなさい。
    この問題の比例式がわかりません

  • >2つの立方体a.bがあり、体積比は8:27。
    bの立方体の一辺の長さを12㎝とするとき、aの立方体の一般の長さを求めなさい。
    この問題の比例式がわかりません

    体積比は相似比の3乗になってるよ。
    ってことで体積比から相似比を計算してみよう

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