【ひし形の性質】対角線はなぜ垂直に交わるのか??

Sponsored Link

ひし形の対角線は垂直に交わるってホント??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。明太子が恋しいぜ。

 

ひし形の対角線にはつぎの性質がある。

それは、

対角線は垂直に交わる

ってやつだ。

 

たとえば、ひし形ABCDがあったとしよう。

対角線の交点をMとすると、

AC⊥BD

になるんだ。

 

ひし形 対角線 性質
Sponsored Link

 

つまり、

角AMD = 90°になるってわけ。

 

むちゃ便利そうな性質だね。

だけど、

なぜ、ひし形の対角線は垂直に交わるんだろう??

ちょっと不思議すぎるよね。

そこで今日は、この謎を証明していくよ。

よかったら参考にしてみて^^

 

 

なぜ、ひし形の対角線が垂直に交わるの??

さっそく証明していこう。

つぎの4ステップで証明できちゃうんだ。

  1. ひし形の定義をつかう
  2. 平行四辺形の性質をつかう
  3. 三角形の合同条件をつかう
  4. 合同な図形の性質をつかう

 

例の「ひし形ABCD」をつかって証明していこう。

 

ひし形 性質 対角線

 

証明の方向性としては、

△ABMと△ADMの合同を証明していくよ。

 

 

Step1. ひし形の定義をつかう

△ABMと△ADMにおいて、

ひし形の定義(4つの辺がすべて等しい)より、

AB = AD・・・(1)

ひし形 対角線 性質

 

Step2. 平行四辺形の性質をつかう

ひし形は平行四辺形だから、

平行四辺形の性質がつかえるね。

Sponsored Link

対角線は中点でそれぞれ交わる

という性質より、

BM = DM・・・(2)

ひし形 対角線 性質

 

 

Step3. 三角形の合同条件をつかう

AMは共通だから、

AM = AM・・・(3)

 

ひし形 対角線 定義

 

(1)・(2)・(3)より、

3つの辺がそれぞれ等しいから、

△ABM ≡ △ADM

がいえるね。

 

 

Step4. 合同な図形の性質をつかう

合同な図形同士の対応する角はそれぞれ等しいから、

角AMB = 角AMD・・・(4)

になるね。

ひし形 対角線 性質

 

角AMBと角AMDをたしたら直線になっているから、

角AMB + 角AMD = 180°・・・(5)

になるはず。

 

(4)、(5)より、

角AMD + 角AMD  = 180°
角AMD  = 90°

Sponsored Link

になるね。

ひし形 対角線 性質

よって、

ひし形ABCDの対角線は垂直に交わることになるよ。

 

 

まとめ:ひし形の対角線は垂直に交わる!

ひし形の性質でおさえておきたいのは、

対角線が垂直に交わる

ということ。

性質をただ暗記するだけじゃなくて、

なぜ対角線が垂直に交わるのか??

ということもおさえておこう。

そんじゃねー

Ken

Sponsored Link

無料で勉強の質問をする!