【二次関数の三角形】等積変形を使ったパターンの解き方

二次関数・三角形・等積変形のトリプルアタック?

二次関数の問題では、なぜか三角形がたくさん絡んでくるけど、中でも厄介なのが、

等積変形を使った問題だね。

例えば次のようなやつ↓

等積変形とは、

底辺が同じ2つの三角形の頂点が同じ平行線上にあると面積が等しくなる

ってやつだったね。

等積変形を忘れている時は問題を解く前に復習してみてね。

この等積変形を使った二次関数の三角形問題は、次の5ステップで解けるよ。

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見通しをつける

まず、実際に問題を解いていく前に大まかな流れを見通しておこう。

問題文では、

△POB=△AOBとなるようなPを求めなさい

といっているね。

 

ここで、等積変形の登場だ。

OBに平行な直線で、かつ、Aを通る直線を引いてみる。

その直線がy = ax² と交わるもう1つのAではない点が「P」になるね。

なぜなら、△POB=△AOBは辺OBを共有していて、かつ、高さが等しくなるからだ。

このPの座標を求めてやればゲームクリアってわけ。

 

Bの座標を求める

まずはBの座標を求めていこう。

Bはy = ax² を通っていて、かつ、x座標が1とわかっている。

ってことで、y = ax² にBのx座標の「1」を代入すると

y = ax²

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= a

が出てくるはずだ。つまり、このaがBのy座標になるから、Bの座標は、

(1, a)

になるな!

 

OBの式を求める

まずやっていくのがOBの式を求めることだね。

OBの式を求める狙いは、

OBの傾きをゲットすること。

なぜ、APとOBは平行だから傾きが同じなるはずだからね。

ってことで、このOBの傾きはAPの式を知るための大きな手がかりなんだ。

 

何もビビることはなく、OBの式を求めるのはすこぶる簡単。

原点を通っている直線の式だから、OBは比例の関数だね。

 

 

で、比例ということは、その傾きに当たる比例定数は、

(yの増加量)÷(xの増加量)

になる。

Bの座標は(1, a)だったから、原点からのxの増加量は「1」、yの増加量は「a」。

よって、OBの傾きは、

(yの増加量)÷(xの増加量)

=  a ÷ 1

= a

つまり、傾きは「a」だから

y = ax

がOBの式になるはず。

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APの傾きを求める

次はAPの傾きを求めていくよ。

APはOBと平行な直線になるから、

APとOBは傾きが等しい。

つまり、APとOBの傾きは両方「a」だ。

よって、APの傾きもOBの傾き「a」になるから、APの式はまだわからない切片をbとすれば

y = ax + b

になるね。

 

APの式をaで表す

APの傾きはわかったから、あとはこいつに、

Aの座標(-2, 5)

を代入して切片bを求めてみよう。

 

y = ax + b

5 = a × (-2) + b

b = 2a + 5

 

になるわけだ。

 

つまり、APの式は、

y =  ax + 2a + 5

になる。

 

AP と y = ax² の交点を求める

次は二次関数 y = ax² とAPの交点を求めていこう。

求めるためには、

  • y = ax²
  • y = ax + 2a + 5

を連立させて解けばいい。すると、

ax² = ax + 2a + 5

になる。

 

aの値を求める

さて、ここがこの問題の一番のミソだ。

二次関数 y = ax² とAPは

  • A
  • P

の2点で交わっているね?

 

で、すでに最初からその内の1つの「Aの座標」は(-2, 5)ってわかっていた。

これはなにを意味するのかというと、

  • y = ax²
  • y = ax + 2a + 5

を連立させてできた

ax² = ax + 2a + 5

という二次方程式の答えの1つはAのx座標の「x = -2」になるはず。

 

ってことで、すでにわかっているxの解の1つの「x = -2」を代入してaを求めよう。

 ax² = a分の1 x + 2a + 5

a ・(-2)²  =   a分の1 × (-2) + 2a + 5

a = 4分の5

になるね。

いやあ、やっとaの正体がわかったぜ。

 

Pの座標を求める

二次関数 y = ax² とAPの交点を求める式の

ax² = a分の1 x + 2a + 5

に戻ってみよう。

さっきのステップでaを求められたから、aを代入してやると、

4分の5x² = 4分の5 x + 2 × 4分の5 + 5

5x² – 5x – 30 = 0

x² – x –  6 = 0

(x-3) (x+2) = 0

x = 3, -2

になるね。

 

x=-2はAのx座標だから、もう一個のx=3が「Pのx座標」なはず。

あとはPのy座標さえ求めればいいから、y = 4分の5x² に x = 3を代入して、

 

y = 4分の5x²

= 4分の5× 3²

= 4分の45

 

になる。

したがって、Pの座標は

(3, 4分の45)

だ!!

やった!やっと終わった!まじなげえな!

 

 

二次関数の等積変形を使った問題むずすぎw

こんな感じで、二次関数の等積変形を使った問題はちょっと難しい。。

記事書いてるだけで息切れしてくるからね。

この問題で大事なのは、

解き始める前に等積変形をどのように使っていくのか?

という見通しを立てて、そのシナリオに合うようにいろいろ条件を整えていくことだね。

最初に見通しが立たなかったらゴールまでたどり着けなかったはず。

 

そんじゃねー

Ken

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