【二次関数の三角形】等積変形を使ったパターンの解き方

二次関数・三角形・等積変形のトリプルアタック?

二次関数の問題では、なぜか三角形が絡んでくるけど、中でも厄介なのが、

「等積変形」を使った問題だ。

例えばこんなやつ↓

等積変形とは、

底辺が同じ2つの三角形の頂点が同じ平行線上にあると面積が等しくなる

ってやつだったね。

等積変形を忘れてたら復習してみてね。

この手の問題は5ステップで解けるよ。


 

Step1. 見通しをつける

最初に「大まかな流れ」を見通しておこう。

問題文では、

△POB=△AOBとなるようなPを求めなさい

といっているね。

 

ここで、等積変形の登場だ。

「OBに平行な直線」で、かつ、「Aを通る直線」を引いてみる。

その直線がy = ax² と交わるもう1つのAではない点が「P」になるね。

なぜなら、△POBと△AOBは辺OBを共有していて、かつ、高さが等しくなるからだ。

△POBと△AOBの底辺・高さが等しくなるから面積も等しくなるはず。

この「P」を求めればゲームクリアってわけ。

 

Step2. Bの座標を求める

まずはBの座標を求めよう。

B は y = ax² を通っていて、かつ、x座標が1。

ってことで、y = ax² にBのx座標「1」を代入すると


y = ax²

= a

が出てくるはず。

つまり、このaがBのy座標になるから、Bの座標は、

(1, a)

になるな!

 

Step3. OBの式を求める

ここでOBの式を求めよう。

OBの式を求める狙いは、

OBの傾きをゲットすること。

APとOBは平行だから傾きが同じになるはずだからさ。

ってことで、OBの傾きはAPの式を知るための手がかりなんだ。

 

何もビビることはなく、OBの式を求めるのはすこぶる簡単。

原点を通っている直線だから、OBは比例の関数だね。

 

 

で、比例ということは、その傾きに当たる「比例定数」は、

(yの増加量)÷(xの増加量)

で求められる。

Bの座標は(1, a)だから、原点からのxの増加量は「1」、yの増加量は「a」。

よって、OBの傾きは、

(yの増加量)÷(xの増加量)

=  a ÷ 1

= a

つまり、傾きは「a」だから

y = ax


がOBの式になるはず。

 

Step4. APの傾きを求める

次はAPの傾きを求めるよ。

APはOBと平行な直線だから、傾きが等しい。

つまり、APとOBの傾きは両方「a」だ。

APの傾きもOBの傾きの「a」になるから、APの式の切片をbとすれば

y = ax + b

になるね。

 

Step5. APの式をaで表す

APの傾きはわかったから、あとはこいつに、

Aの座標(-2, 5)

を代入して切片bを求めてみよう。すると、

y = ax + b

5 = a × (-2) + b

b = 2a + 5

になる。

 

つまり、APの式は、

y =  ax + 2a + 5

になる。

 

Step6. AP と y = ax² の交点を求める

次は y = ax² とAPの交点を求めよう。

求めるためには、

  • y = ax²
  • y = ax + 2a + 5

という連立方程式を作って解けばいいね。

すると、

ax² = ax + 2a + 5

になる。

 

Step7. aの値を求める

さて、ここがこの問題の一番のミソだ。

二次関数 y = ax² とAPは

  • A
  • P

の2点で交わっているね?

最初から「Aの座標」は(-2, 5)ってわかっていた。

 

これはなにを意味するのかというと、

  • y = ax²
  • y = ax + 2a + 5

を連立させてできた

ax² = ax + 2a + 5

の答えの1つはAのx座標の「x = -2」になるはず。

 

ってことで、すでにわかっているxの解「x = -2」を代入してaを求めよう。

 ax² = a分の1 x + 2a + 5

a ・(-2)²  =   a分の1 × (-2) + 2a + 5

a = 4分の5

になるね。

いやあ、やっとaの正体がわかったぜ。

 

Step8. Pの座標を求める

二次関数 y = ax² とAPの交点を求める式の

ax² = a分の1 x + 2a + 5

に戻ってみよう。

こいつにaを代入すると、

4分の5x² = 4分の5 x + 2 × 4分の5 + 5

5x² – 5x – 30 = 0

x² – x –  6 = 0

(x-3) (x+2) = 0

x = 3, -2

になる。

 

x=-2はAのx座標だから、もう1つの「x=3」が「Pのx座標」のはず。

あとはPのy座標を求めればいいから、y = 4分の5x² に x = 3を代入して、

y = 4分の5x²

= 4分の5× 3²

= 4分の45

になる。

したがって、Pの座標は

(3, 4分の45)

だ!!

やった!やっと終わった!

まじなげえな!

もう解きたくねえな!

 

 

二次関数の等積変形を使った問題むずすぎ

こんな感じで、二次関数の等積変形を使った問題はちょっと難しい。

正直、息切れは避けられない。

 

この問題で大事なのは、

解き始める前に等積変形をどのように使うのか?

という見通しを立てることだ。

そして、そのシナリオに合うようにいろいろ条件を整えていけばいいんだ。

難易度が高い問題だけど挑戦してみてね。

 

そんじゃねー

Ken

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