【中3数学】2分でわかる!三平方の定理の逆

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三平方の定理の逆ってなに??

やあ、Dr.リードだよ。今日は「逆」だよ。逆。

 

これまで勉強してきた、三平方の定理には、

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の逆

っていうのがあるんだ。

 

三平方の定理の逆

 

逆は中2数学で習ったやつだったね。

忘れてるやつも多いと思うから、逆を復習しつつ、

三平方の定理でも逆が言えるのか??

を見ていこう。

 

=もくじ=

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  1. 逆の復習
  2. 三平方の定理の逆って?
  3. 三平方の定理の逆の証明
  4. 三平方の定理の逆の問題

 

中2数学の復習!数学の「逆」ってなに?

まずは数学の「」を復習してみよう。

数学の「逆」とはずばり、

ある命題の「仮定」と「結論」を入れ替えたもの

なんだ。

 

数学の命題とは、「正しいか、正しくないかを考える事柄のこと」だったね。

たとえば、次のような命題があるとするよ。

x =2,  y = 3 ならば x+y = 5

 

三平方の定理の逆

 

仮定と結論をいれかえて、逆を作ってみると、

x+y = 5 ならば x =2,  y = 3

になるね。

 

三平方の定理の逆

 

この命題の逆は正しいかな?

「x+y=5」を満たすxとyの組み合わせって「x=2, y = 3」以外にもありそうだよね?

たとえば、「x = 0、 y = 5」とかね。

だから、この場合は逆にすると命題が成り立たないね。

この例みたいに、

ある命題は正しいけど、逆は正しい場合もあるし、正しくない場合も両方あり得るんだ。

 

 

じゃあ三平方の定理の逆とは??

では、三平方の定理の逆はどうだろ。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)とはこうだったな。

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【三平方の定理(ピタゴラスの定理)】

直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、

a²+b² = c²

が成り立つ。

三平方の定理(ピタゴラスの定理) 計算問題 解き方

 

この三平方の定理(ピタゴラスの定理)で逆をつくってみようか。

三平方の定理の仮定と結論は、

  • 仮定:「直角三角形である」
  • 結論:「a²+b² = c²」

だ。

 

三平方の定理の逆

 

この逆をつくってみると、

  • 仮定:「a²+b² = c²」
  • 結論:「直角三角形である」

になるね。

 

三平方の定理の逆

 

つまり、三平方の定理(ピタゴラスの定理)の逆は、

「a²+b² = c²」ならば「直角三角形である」

だ。

はてさて、これは正しいのかな?

 

 

2分でわかる!三平方の定理の逆の証明

三平方の定理の逆の証明してみるか。

 

三平方の定理の逆

 

わかりきってても、きっちりいくぜぃ。

 

下の図のような△ABCと△DEFがある。

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三平方の定理の逆

【仮定】

△ABCにおいて a²+b² = c²
△DEFは直角三角形である。

【証明】

△ABC と△DEF について、

仮定より、 a²+b² = c²・・・(1)

△DEFは直角三角形なので 三平方の定理より

a²+b² = x²   ・・・(2)

 

(1)・(2)より、

c² = x²

c も x も正の数なので 、

c = x

 

△ABCと △DEF の3つの辺がそれぞれ等しいので、

△ABC ≡△DEF

 

よって ∠BCA =∠EFD=90°

したがって、

△ABC は直角三角形である。

この証明からわかるのは、

三平方の定理の逆も正しい!

ってこと。

中学生ならこの証明で十分かな!

 

三平方の定理の逆

 

 

三平方の定理の逆をつかった問題を解いてみよう!

三平方の定理の逆をつかった問題を解いてみよう。

 

練習問題

次の1辺の三角形があります。直角三角形となるのはどれですか。

(1)  3 cm  4 cm  5 cm

(2)  2 cm  √7 cm √10 cm

(3)  15 cm  13 cm  7 cm

(4)  2 cm  2 cm √6 cm

(5)  2√5 cm  2√6 cm  2√7 cm

(6) 2√5 cm  2√6 cm  2√7 cm

2ステップで解けちゃうぜ。

  1. 斜辺をどれか確認しておく(一番長いのが斜辺)
  2. 「他の2辺の2乗の和」と「斜辺の2乗」が等しいか確認

 

(1) 3 cm 4 cm  5 cm

一番長い斜辺は5 cmだから、斜辺の2乗は5² = 25。

他の2辺のに乗の和は、

3² + 4² = 25

になるね。

三平方の定理が成り立つから、直角三角形である!

三平方の定理の逆

 

(2) 2 cm √7 cm √10 cm

斜辺は√10cmだから、斜辺の2乗は、

(√10)² = 10

になる。

他の2辺の2乗の和は、

2² + (√7)² = 11

三平方の定理が成り立たないから、直角三角形ではない。

三平方の定理の逆

 

(3)  15 cm 13 cm 7 cm

一番長い辺の斜辺は15 cm。

斜辺の2乗は 15² = 225。

他の2編の2乗の和は、

7² + 13² = 218

三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。

三平方の定理の逆

 

 

(4) 2 cm 2 cm √6 cm

斜辺は√6 cmだから、斜辺の2乗は、

(√6)² = 6

になる。

他の2辺の2乗の和は、

2² + 2² = 8

三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。

三平方の定理の逆

 

(5) 2√5 cm  2√6 cm  2√7 cm

斜辺は2√7 cmだ。

斜辺の2乗は(√7)² = 7

他の2辺の2乗の和は、

(2√5)² + (2√6)² = 44

三平方の定理が成り立たないから直角三角形ではない。
三平方の定理の逆

 

(6) 2√5 cm 2√5 cm 2√10 cm

斜辺は2√10 cmだから、斜辺の2乗は (2√10)² = 40になる。

他の2辺の2乗の和は、

(2√5)² + (2√5)²  = 40

三平方の定理が成り立つから、直角三角形。

三平方の定理の逆

 

まとめ:三平方の定理も逆も使いこなせ!

三平方の定理の逆はどうだったかな?

 

三平方の定理の逆

散々「ピタゴラスった!」から慣れたようだね。

つぎは立体で三平方の定理を使えるようになってみよう!

>>正四角錐の高さの求め方に挑戦!

 

それじゃあな!

Dr.リード

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