【中3数学】有理数と無理数とはなんだろう？？

有理数と無理数とはなんだろう？？

こんにちは、この記事をかいてるKenだよ。タンパク質は大事ね。

中3数学では、

有理数と無理数

を勉強していくよ。

小学校ではならなってなかった新しい概念だね。

有理数

と

無理数

って1文字しか変わらないから間違いやすい。

非常にややこいね。

そこで今日は、

有理数と無理数とはなにか？？

をわかりやすく解説していくよ。

= もくじ =

1. 有理数とはなんだろう？？
2. 無理数とはなんだろう？？

有理数とはなにものなの？！？

まずは、

有理数とはなにか？？

を振り返ってみよう。

有理数とはずばり、

分数であらわせる数だ。

整数をa, bとすると、

分数 a分のb

であらわせるってことさ。

ただし、分母は「0」じゃないっていう条件あるけどね。

だって、どんな数も0で割ることはできない

っていうルールがあるからね。

せっかくだから、有理数の具体例をみていこう！

有理数の例1.　「整数」

まず、有理数の例としてあげられるのが、

整数

だ。

整数ってたとえば、

1, 2, 3, 4, 5….

って1以上の整数だったり、

0

だったりするやつ。

もちろん、符号がマイナスでも大丈夫。

-1, -2, -3, -4, -5….

とかね。

こいつらが有理数なのはあきらか。

なぜなら、

整数は分母を1とした分数であらわせるからね。

たとえば、

• 5 =「1分の5」
• 1234 = 「1分の1234」

だ。

分母を1にすれば分数であらわせる。

だから、整数は有理数なんだ。

有理数の例2. 「有限小数」

2つめの有理数の例は、

有限小数

ってやつだ。

有限小数とはずばり、

小数の位が無限に続かないやつね。

たとえば、

0.3

とか、

0.999

とか。

こいつらって、

小数の位が無限に続いてないじゃん？？

0.3だったら小数第1位でおわってるし、

0.99999だったら、小数第5位でとまってる。

こんな感じで、

ケタが続かない小数を「有限小数」ってよんでるのさ。

んで、

有限小数は有理数だよ。

なぜなら、分数であらわせるからね！

有限小数は、

（小数の位）÷（10の「小数の位の数」乗）

ですぐに分数にできちゃう。

たとえば、

• 0.3 ⇒ 10分の3
• 0.999 ⇒ 1000分の999

みたいにね。

有限小数は「有理数」っておぼえておこう！

有理数の例3. 「循環小数」

3つめの有理数の例は、

循環小数

ってやつだ。

これは無限に小数の位がつづく無限小数のなかでも、

小数の位の続き方に規則性があるやつ

なんだ。

たとえば、

0.33333333333…..

とか、

0.123412341234….

とかね！

こいつらはじつは、分数であらわすことができるんだ。

⇒詳しくは循環小数を分数に変換する方法をよんでみて

さっきの例でいうと、

• 0.33333…. = 3分の1
• 0.12341234…. = 9999分の1234

になるね！

よって、循環小数も分数にできる。

つまり、有理数ってことだね！

じゃあ無理数とはなんだろう！？！

それじゃあ、

無理数とはなんなんだろう！？？

ちょっと気になるよね。

無理数とはずばり、

分数であらわせない数

のことだよ。

「有理数では無い数」＝「無理数」

ならおぼえやすいかな。

えっ。

分数であらわせない数字なんてあるのかって？！

じつはね、おおありなんだ。

具体的にいうと、

循環しない無限小数が無理数だよ。

つまり、

小数の位が続いているけど、続き方に規則がない小数のこと

だ。

そうは言っても、無理数にピンとこないね？？

無理数の具体例をみていこう！

無理数の例1.  「π（円周率）」

中学数学ででくる無理数の例は、

π（パイ）

だね。

直径と円周の比の円周率のことだったよね？？

じつは、これ、

無限に続いてる小数で（無限小数）、

しかも、

その続き方に規則性がまったくないんだ。

試しに、円周率を100ケタぐらいみても、

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164 062862089986280348253421170679…

・・・・っダメだ。。

規則性もクソもねえ！ランダムにケタが続いているよね。

こういうやつが、

無限小数で、しかも、循環しない小数

つまり、無理数ってわけ。

無理数の例2. 「平方根（ルート）」

中3数学でならった

「平方根」

も無理数だよ。ルートとよばれてるやつだ。

ルートがついているやつはたいてい無理数だね。

たとえば、良く登場してくる、

ルート2

は圧倒的に無理数だね。

なぜなら、

無限につづく小数で、しかも規則性がないからね。

こっちも試しにルート2の小数のケタをかきなぐってみると、

1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696….

まじムリっ！

ぜんぜんケタの繰り返しに規則性がみつけられないじゃん！？

だから、

ルート2は無理数

といえそうだ。

でもね、ルート2が平方根だからといって、

√（ルート）がついている数字はぜんぶ無理数ってわけじゃない。

たとえば、ルート4をみてみよう。

こいつには一見、無理数の香りがする。

ルートがついてるし。

だけどね、こいつは無理数じゃない。

なぜなら、

ルート（√）がはずせちゃうからね。

√の中身の4は「2の2乗」。

ってことは、√4の根号ははずせちゃうね。

√をはずしてみると、

√4 = 2

になる。

つまり、√4の正体は整数の2ってことなのさ。

整数は有理数だったね？？

ってことは、

√4も有理数なのさ。

√がついてるからといって、無理数と決めつけないようにしよう！

ルートがはずれるか確認してみてね。

まとめ：有理数と無理数の違いは分数であらわせるかどうか！

有理数と無理数の違いはピンときたかな？

こいつらの違いは、

• 有理数：分数であらわせる数
• 無理数：分数であらわせない数

っておぼえておけば大丈夫。

有理数と無理数を見分けられるようにしよう！

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruで執筆しています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いで始めました。