二次関数y=ax2の変化の割合を3秒で計算できる公式

二次関数y=ax2の変化の割合の求め方に公式あるの？？

こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。服、ほしいね。

二次関数y=ax2の変化の割合の求め方には公式があるよ。

xの値がmからnまで増加するとき、変化の割合は、

a (m+n)

になるんだ。

つまり、

（比例定数）×（xの小さい値 + xの大きい値）

っていう計算。簡単だ！

さっそく、この公式で変化の割合を求めてみよう。

たとえば、

y=1/2x^2 でxが2から8まで増加するときの変化の割合を計算してみて。

この二次関数では、

• 比例定数a: 1/2
• xの小さいほうの端 m：2
• xの大きいほうの端 n：8

になってるね？？

こいつをさっきの公式に代入してやると、

1/2 (2 + 8)
= 5

になるね。

つまり、

y=1/2x^2 でxが2から8まで増加するときの変化の割合は「5」になるわけ。

どう？？簡単に計算できたよね？？

なぜ、二次関数の変化の割合が公式で計算できるの？？

二次関数の変化の割合の公式は便利。

どんな変化の割合の問題でもとけそうだ^^

でもさ、

なんで変化の割合の公式がつかえちゃうんだろうね？？

ちょっと便利すぎて怖い。

不安になってきたから、なぜ公式がつかえるのかを振り返ってみよう。

二次関数y=ax2がmからnまで変化するときを想定してみて。

このときの変化の割合を、二次関数の変化の割合の求め方で計算すればいいんだ。

1. yの値を計算する
2. 変化の割合を計算する
3. 因数分解する
4. 約分する

Step1. yの値を計算する

まずyの値を計算してみよう。

• xの小さい値 : m
• xの大きい値 : n

のときに、yの座標がいくつになるのか？？

を求めればいいのさ。

それぞれのx座標をy = ax2に代入すればいいね。

y = ax2にmとnを代入してyを求めてやると、

• x = m のときy = am^2
• x = n のときy = an^2

になる。

Step2. 変化の割合を計算する

つぎは変化の割合の求め方で計算してみよう。

変化の割合の求め方は、

（yの増加量）÷（xの増加量）

だったよね？？

ようは、

xが1変化するごとにyはいくつ変化するのか？？

ってことを調べるわけだ。

この計算式をつかうと、

変化の割合

= （yの増加量）÷（xの増加量）

= （an^2 – am^2）÷（n – m）

になるね。

Step3. 因数分解する

さっきの変化の割合を因数分解してみよう。

分子の、

an^2 – am^2

がむちゃくちゃ因数分解できそうだ。

まず共通因数aでくくってやると、

a(n^2 – m^2)

になるね。

んで、さらに、（）のなかの、

n^2 – m^2

を因数分解の公式で計算すると、

n^2 – m^2

= (n+m) (n-m)

になるじゃんね。

Step4. 約分する

最後に約分してあげよう。

変化の割合の分子と分母に共通の、

n – m

っていう因数があるよね？？

そこで、

（n – m）で分子・分母を割ってやると、

a（n+m) (n-m) ÷ (n-m)

= a (n+m)

になるんだ。

xが増加する（または減少する）ときの話をしているから、

n と mが一緒であることはありえないはず。

つまり、

n≠m

だから、n-m≠0。

よって、n-mでわってもいいから大丈夫だ。

あ。

こ、これはいちばん最初に紹介した、

変化の割合 = a (m+n)

っていう公式になってるね。

こんなかんじで、変化の割合の求め方で計算すれば公式が導けるのさ。

やったね^^

まとめ：二次関数y=ax2の変化の割合の公式は便利すぎて注意

二次関数y=ax2の変化の割合は公式なら簡単。

すぐに変化の割合をだせるね。

便利な公式をおぼえるのも大事だけど、

なぜ、公式がつかえるのか？

ってこともおなじぐらい重要。

公式がつかえる理由をわかってから公式をつかおうね。

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruで執筆しています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いで始めました。