中学生でもわかる三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明って??
こんにちは!Dr.リードだぞいっ。
今回のテーマは三平方の定理(ピタゴラスの定理)だ。
聞いたことあるかな?
紀元前572年ごろのギリシア人のピタゴラスさんが発見したから「ピタゴラスの定理」っていうんだな。
今日はその三平方の定理(ピタゴラスの定理)の使い方じゃなくて、
なぜ、三辺平方の定理が使えるのか?を証明していくぞ。
中学生でもわかる!三平方の定理(ピタゴラスの定理)の4つの証明
三平方の定理の証明法は100以上、いやもっとそれ以上あるといわれている。
中でも、中学生にも分かりやすい4つの証明を紹介していくぞ。
- 小さな三角形を使う証明
- 小さな三角形と正方形を使う証明
- 正方形を2つ使う証明
- 直角三角形の相似を利用する証明
今回は姉上といっしょに三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明をみていこう。
その1. 「直角二等辺三角形を使った証明」
まず1つ目の証明は、
小さな直角三角形二等辺三角形
を使った証明だ。
直角三角形を4枚合わせると、
正方形になるよな?
んで、この正方形をもっとつなぎ合わせると、もっとでかい四角形ができるね。
この証明では、パッチワークみたいな感じで、小さい直角二等辺三角形を使っていくぞ。
まずは、中ほどにピンクの生地8枚使って、直角三角形を作ってくだされ。
ついでに3種類、イエロー、パープル、ミントグリーンも使って、ピンクの三角形の各辺がくっついた正方形を作ってくだされ。
それぞれの色にふくまれる直角二等辺三角形の数を数えてみよう。
- 黄色:32個
- パープル:16個
- ミントグリーン:16個
「黄色の枚数」と「パープル+ミントグリーン」の枚数が一緒ってことに気づくかな?
黄色い正方形の1辺をb、
パープル・ミントグリーンの正方形の1辺をaとすると、
b² = a² + a²
になってるはずだね。
このことから、
赤の直角二等辺三角形の斜辺の2乗が、他の2辺の2乗の和になってる
って言えるね。
おお、これって三平方の定理じゃん!!
その2. 正方形と直角三角形を使った証明
つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)証明は、
- 正方形
- 直角三角形
の2つを使っていくよ。
こんな感じのパッチワークを想像してくれ。
これの一番基本となるピースに注目。
今回は、この、
- 正方形1つ
- 直角三角形4つ
が合体して正方形になってる図形を使っていくんだ。
1つの直角三角形の辺の長さをそれぞれ、
- a
- b
- c
としてやろう。
まず、下のようにピンクの三角形を右下へ動かしてみる。
つぎは、水色の三角形を左下へ動かしてみる。
ここで、こいつを2つの正方形、
- 1辺がaの正方形
- 1辺がbの正方形
に分けてみると、
こいつの面積は、
a² + b²
になるよね?
んで、もともとは1辺がcの正方形だったはずだから、
c² = a² + b²
っていう式が成り立つね。
ここで、左上の基本のピンクの直角三角形に注目てしてみて。
cは斜辺、aとbはその他の2辺の長さになってるよね?
おお、みごと、三平方の定理の式になりました。
その3. 正方形を2つ使う証明
つぎの三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明は、
正方形を2つ使うパターン。
- 1辺が(a+b)
- 1辺がc
の2つの正方形をイメージしてみよう。
こいつをこんな風に重ねてみた。
それぞれの面積を出すと、
- 青色正方形の面積 = (a+b)²
- 黄色い正方形の面積 = c²
- 青い直角三角形の面積 = ½ × a × b × 4 = 2ab
真ん中の黄色い正方形は、青い正方形から4つの直角三角形を引いたものだから、
c² = (a+b)² -2ab
c² = a²+2ab +b² -2ab
c² = a²+b²
1つの直角三角形でみると、
cは斜辺でaとbはその他の辺だね。
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
その4. 直角三角形の相似を使う証明
相似の証明を使って、三平方の定理を証明することもできるんだよ。
つぎのような直角三角形△ABCがある。
Bから辺ACに垂線を下ろし、交点をDとするね。
AD = x 、DC = y としておく。
見やすいように図形をバラバラにすると、
相似な三角形が3個も隠れてるんだ。
△ABCと△ADBについて、
仮定より、
∠ABC = ∠ADB = 90°・・・①
また、
∠CAB = ∠BAD(共通)・・・②
①②より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△ADB
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : a = a : x
a² = cx・・・③
になる。
また、
△ABCと△BDCについて、
仮定より、
∠ABC = ∠BDC = 90°・・・④
また、
∠CAB = ∠BAD(共通)・・・⑤
④⑤より、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∼△BDC
よって、対応する辺の比はそれぞれ、
c : b = b : y
b² = cy・・・⑥
になる。
③+⑥を計算すると、
a² + b² = cx + cy
a² + b² = c (x + y)
a² + b² = c²
おお、これも見事三平方の定理の式になったぞ。
まとめ:三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はまだまだあるぞ!
三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明はどうだっかな?
勉強したのは4つだったね。
- 小さな三角形を使う証明
- 小さな三角形と正方形を使う証明
- 正方形を2つ使う証明
- 直角三角形の相似を利用する証明
しっくりきたやつを覚えておこう。
ピタゴラスは数学者じゃなくて、ピタゴラス学派っていうギリシャの宗教教団のリーダーだったんだ。
数学者・哲学者・音楽家と様々な顔を持っていたらしいよ。
なかなかやるな、ピタゴラス。
それじゃあ!
Dr.リード
公立中学校理科数学講師、進学塾数学講師、自宅塾 高校数学英語化学生物指導、国立大学医学部技官という経歴を持つスーパー講師。よろしくな!
関数y=aX2丈でxの値が2~5まで増加するとき、yの値は63増加する。
このときのaの値を求めなさい。
というのは、どうしたら良いのですか?
小さい2の表示ができなくて、すいません。、
>関数y=aX2丈でxの値が2~5まで増加するとき、yの値は63増加する。
このときのaの値を求めなさい。
というのは、どうしたら良いのですか?
xが2、5の時のそれぞれのyの値をaで表してみて。
あとは、yの増加量をaで表してみて、それが63になってるっていう方程式を作ってみればいいんじゃないかな
8ピースから正方形を2個作るにはどうしたらいいですか?
夜分遅くに失礼します。
3つ目の正方形を2つ使うパターンについての質問です。
この場合(a+b)のbの長さとcの長さが等しいと考えて正解でしょうか?
直角三角形の鋭角(cab)の角度と(cba)が直角で(cb)の辺の長さが分かるときの(bc)の辺の長さを求め方を教えて
その3・4の説明が良く分からないのですが。