【中点連結定理】平行四辺形の証明問題の解き方3ステップ

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中点連結定理をつかった平行四辺形の証明問題!?

どーも、ぺーたーだよ。

 

中点連結定理をつかった証明問題はたくさん、ある。

なかでもよくでてくるのは、

平行四辺形であることを証明する問題

だ。

たとえば、つぎみたいな証明問題ね。

 


練習問題

四角形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAの中点をE、F、G、Hとする。

このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明
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みんなけっこう難しいって

思ってるんじゃないかな?

今回はどうやって、

中点連結定理で平行四辺形を証明するのか

を3ステップで証明していくよ。

 

 

中点連結定理で平行四辺形を証明する3つのステップ

さっそく証明問題をといていくよ。

 

 


練習問題

四角形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAのそれぞれの中点をE、F、G、Hとする。

このとき四角形EFGHが平行四辺形になることを証明しなさい。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 


 

 

Step1. 対角線をひく

証明を始める前に1つだけやることがあるんだ。

それは、

対角線を1本かいてあげること!

そうするとこうなるね ↓↓

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 

今回は、対角線BDをひいたけど、ACでも同じだからね。

 

 

Step2. 中点連結定理をつかう

対角線を引いたら、いくつか三角形が見えてくるよね?

練習問題でいうと、

  • △AEH
  • △ABD
  • △CGF
  • △CDB

の4つだね。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明
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平行四辺形を証明するために

2組の三角形に分けてみてみよう。

 

まずは△AEHと△ABDに注目してみて。

 

sohe3

 

EとHはそれぞれ、

辺ABと辺ADの中点だよね??

 

sohe4

 

ってことは、中点連結定理をつかうと、

EH // BD・・・(1)

EH = 1/2 BD・・・(2)

がいえるんだ。

 

中点連結定理 証明問題

 

 

おなじことを△CGFと△CDBでもやってみよう。

FとGは、辺BGと辺DCの中点。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 

ってことで、中点連結定理がつかえるから、

FG // BD・・・(3)

FG = 1/2 BD・・・(4)

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 

になるね。

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Step3. 平行四辺形になる条件をつかう

最後は平行四辺形になる条件をつかうよ。

5つの条件を見なくても言えるかな?(笑)

  • 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
  • 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
  • 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
  • 対角線が中点で交わる
  • 1組の対辺が平行で長さが等しい

くわしくは平行四辺形になるための5つの条件をよんでみてね。

 

ちなみに、中点連結定理を使って平行四辺形を証明する問題は

1組の対辺が平行で長さが等しい

を使うのがほとんど。

今回もこの条件をつかうよ。

 

(1)と(3)から、

EH//BD//FGになるね。

つまり、

EH//FG・・・(5)

がいえるわけだね。

 

sohe9

 

また、(2) と (4)から、

EH = FG = 1/2 BD・・・(6)

がいえるね。

EHとFGの両方がBDの半分になってるからさ。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 

んで、

(5)と(6)より、平行四辺形になる条件の、

1組の対辺が平行で長さが等しい

がつかえるわけだね。

だから、

四角形ABCDは平行四辺形

ってわけ。

 

中点連結定理 平行四辺形 証明

 

おめでとう!

これで証明おしまい!

 

 

まとめ:対角線を引いて中点連結定理に持ち込め!

中点連結定理をつかった平行四辺形の証明はどうだった??

この問題のポイントは、

対角線の補助線がひけるかどうか

だね。

平行四辺形を証明する問題は数をこなすのが一番!

おぼえるまで何回かといてみてね。

じゃあねー

 

ぺーたー

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