【中学数学】1次関数と2次関数y=ax2のグラフの3つの違い

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一次関数と二次関数のグラフの違いって??

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

一次関数と二次関数のグラフをながめてました。

 

二次関数y=ax2放物線

 

一次関数 二次関数 

 

かなちゃん

一次関数は久しぶりすぎて忘れかけてるし・・・・

ゆうき先生

二次関数はまだよくわからないところがある。

かなちゃん

うわあっ!?

って、先生か。

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びっくりした……

ゆうき先生

せっかくだから、

一次関数と二次関数グラフの違い

を見つけていこう!

かなちゃん

復習もできるし一石二鳥??

ゆうき先生

そう!

さっそくみていこうー!

かなちゃん

いぇーい

 

 

1次関数と2次関数のグラフの3つの違い

ゆうき先生

一次関数と二次関数のグラフの違いは3つあるよ。

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  1. 次数
  2. 線の形
  3. yの値の符号
かなちゃん

3つもあるんだ!

やべえー

ゆうき先生

どれもわかりやすいから大丈夫!

順番にみていこう。

かなちゃん

はい!!

 

 

違い1. 「次数がちがう!」

ゆうき先生

まずは、一次関数と二次関数の、

「式」

を見比べよう!

かなちゃん

あっ。

一次関数の式わすれちゃった・・・・

ゆうき先生

覚えてないのは仕方がない。

教科書見てみよう。

 

一次関数 二次関数 

 

かなちゃん

んー、違いかー!

bがあるかないかはわかったよ

ゆうき先生

もう一つの違いが注目ポイント!

かなちゃん
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あっ。

見つけた!

ゆうき先生

え!?

かなちゃん

二次関数は、xが二乗になっている!

 

一次関数 二次関数 

 

ゆうき先生

よく気付けた!

この2が二次関数の2なんだ!!

かなちゃん

やったー!

ゆうき先生

つまり、

次数が違うってわけ!

かなちゃん

へー

ゆうき先生

一次関数は一次式の関数、

二次関数は二次式の関数、

って覚えておくといいよ。

かなちゃん

ってことは、もし、

三次式なら・・・

三次関数!?

ゆうき先生

そうそう!!

かなちゃん

にやり

 

 

違い2. 「グラフの形」

ゆうき先生

相似記号の2つめの覚え方は、

グラフのかたち

だね。

かなちゃん

かたち・・・

ゆうき先生

そうそう!

一次関数と二次関数のグラフをみてみて。

一次関数 二次関数 
かなちゃん

まっすぐと、

曲がってる感じかな?

ゆうき先生

そうだね。

一次関数が直線で、

二次関数が曲線!

かなちゃん

これは、わかりやすい!

 

ゆうき先生

ちょっと復習になるけど、

二次関数y=ax2のグラフは、

放物線

ってよばれてたね。

 

二次関数y=ax2放物線

 

ゆうき先生

あー!そうそう!

ゆうき先生

一次関数は直線、

二次関数は放物線、

っておぼえておこうね。

かなちゃん

うす!

 

 

違い3. 「yの値の符号」

ゆうき先生

最後はyの値について!

かなちゃん

なんか、難しそう。

ゆうき先生

そんなことないよ!

ヒントはグラフに隠れているから!

かなちゃん

グラフ?

あっ、そうか!!

一次関数だとyはプラスにもマイナスにもなる!

 

一次関数 二次関数 

 

ゆうき先生

おー

二次関数y=ax2だとどうなる??

かなちゃん

二次関数y=ax2だと、

yの値がプラスだけのときや、

 

一次関数 二次関数 

 

かなちゃん

yの値がマイナスだけのときがある!

 

一次関数 二次関数 

 

ゆうき先生

そうそう!

なんでだとおもうー?

かなちゃん

えっと。。。

xが負の数でも二乗すると、

正の数になるから・・・?

ゆうき先生

そうそう!

例えば、y=x²だと……

 

一次関数 二次関数

 

かなちゃん

あっ、やっぱりそうじゃん!

ゆうき先生

うん、そうそう!

かなちゃん

なんか、直線が魔法で曲げられたのかと思った

ゆうき先生

……!?冗談、だよね?

かなちゃん

半分くらいは。

けど、二次関数のグラフが曲線になるか知れてよかった。

 

 

 

まとめ:1次関数と2次関数は次数もグラフも違うじゃん!

ゆうき先生

じゃあ、いつものまとめをしよう!

一次関数と二次関数のグラフの違いは、

  • 次数
  • グラフの形
  • yの値のとりかた

だったね??

かなちゃん

一次関数のことも思い出せてきたかも。

ゆうき先生

よかった。

一次関数と二次関数が

一緒に出てくる問題もあるんだ。

かなちゃん

えっ、どんな??

ゆうき先生
かなちゃん

なんか、難しそう。

 

一次関数 二次関数
ゆうき先生

やり方さえ知っておけば怖くない。

こんな問題が出てきたときに、

一緒に考えていこう!

 

かなちゃん

うす!

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10 個の質問と回答

  • y=x²,y=ax²
    (0<x<1)のグラフがあり、点(3,0)を通りy軸に平行な直線とその交点をそれぞれA,Bとする。
    線分の長さが6のとき

    ㈠aの値は?       A. a=1/3
    ㈡直線ABの式?     A. x=3
    ㈢三角形OABの面積? A. 9

    ㈠~㈢の答えがなぜそうなるのか分かりません。 答えの解説をお願いします。!

  • >y=x²,y=ax²
    (0<x<1)のグラフがあり、点(3,0)を通りy軸に平行な直線とその交点をそれぞれA,Bとする。
    線分の長さが6のとき

    Bの座標をaで表してみよう。
    y=ax2にx=3を代入すればBのy座標が計算できるはずだからね。
    Bのy座標が出たらAのy座標からひくと、ABの長さ6になるっていうaに関する方程式を作れそうだね
    aが出てちまえば後の問題も楽勝さ

  • yがxの2乗に、比例し、xの値が2~3まで増加するとき、変化の割合が3となる関数の式を求めなさい。 
    答えがy=二分の一x2 になるか分かりません。
    教えてください。

  • >yがxの2乗に、比例し、xの値が2~3まで増加するとき、変化の割合が3となる関数の式を求めなさい。 
    答えがy=二分の一x2 になるか分かりません。

    この関数をy=ax2と置いてみよう。
    xの値が2の時、xの値が3の時、それぞれyの値をaで表してみて
    そこからyの増加量を計算したら最後に、yの増加量をxの増加量で割ったら変化の割合3になった、というaに関する方程式を作ればいいね

  • 中3後期中間テストの問題なんですが、(1)グラフが原点を通る。(2)変化の割合が一定でない。(3)x<0の時、xが増加すると対応するyの値も増加する。(4)グラフがy軸について対称である。などの問に合ったものを「ア・・y=3x イ・・y=2x+1 ウ・・y=-3xの2乗 エ・・y=5x」の中から選べというものがありました。合ったものの見分け方がわかりません。覚え方等を教えていただきたいです。

  • >(1)グラフが原点を通る。(2)変化の割合が一定でない。(3)x<0の時、xが増加すると対応するyの値も増加する。(4)グラフがy軸について対称である。などの問に合ったものを「ア・・y=3x イ・・y=2x+1 ウ・・y=-3xの2乗 エ・・y=5x」の中から選べ

    「変化の割合が一定でない」っていうヒントから、この関数は一次関数でもないし比例でもないってことがわかるね。
    残るは二次関数か反比例。で、選択肢に反比例がないから二次関数が答えだ!

  • 2次関数と1次関数の変化の割合はどこが違って、どうして違うのですか?

  • >2次関数と1次関数の変化の割合はどこが違って、どうして違うのですか?

    変化の割合の意味は同じだよ。
    xが1増えた時に、yがどれくらい増えたり減ったりするのかってこと。
    一次関数の時はずっとこの変化の割合が同じだったけど、
    二次関数だとこの変化の割合はうねうねと変化するよ。なぜなら、直線ではなく放物線だからね

  • 関数y=axの2乗についてxの値が1から3まで増刊号するときの変化の割合が1次関数y=ax+1の変化の割合と等しくなった。aの値を求めよ。

  • >関数y=axの2乗についてxの値が1から3まで増刊号するときの変化の割合が1次関数y=ax+1の変化の割合と等しくなった。aの値を求めよ。

    二次関数の変化の割合の求め方の公式を使うと便利。
    それで求めた変化の割合が1次関数y=ax+1の変化の割合、つまり傾きのaと等しくなるというaに関する方程式を作ればいいよ〜

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