【中2数学】平行四辺形の性質がわかる3つの証明

平行四辺形の性質の証明がよくわからん？？

こんにちは！この記事をかいているKenだよ。パイナップルに埋もれたい。

平行四辺形の性質には次の3つがあったよね。

• 2組の向かいあう辺はそれぞれ等しい
• 2組の向かいあう角はそれぞれ等しい
• 対角線はそれぞれ中点で交わる

こいつらはむちゃ便利だ。

だって、

「平行四辺形」だったら、

向かいあう辺・角が等しいっていえちゃうんだからね。

しかも、対角線が中点でまじわるんだって。

こいつらを使えば、

平行四辺形の問題なんて瞬殺さ！

もー、最高だね・・・・・・

だがしかし。

なんで「平行四辺形の性質」って使えるんだろう？？

便利すぎて怪しい。

詐欺かって思うよね？？

そこで今日は、

平行四辺形の性質の証明を解説して、

疑問を解消していこう！

平行四辺形の性質がわかる3つの証明

平行四辺形の性質を証明するには、

三角形の合同をつかうよ。

しかも、3組の合同を証明しなくちゃいけないんだ。

平行四辺形ABCDがあって、

対角線の交点をMとしよう。

このとき、△ABCと△ADCと、

△ABDと△CDB、

△ABMとCDMの合同を、

を証明していくんだ。

こいつらの合同がいえれば、

平行四辺形の性質を証明できるってわけ。

順番にみていくよー

証明1. 「2組の向かい合う辺の長さは等しい」

まずは、平行四辺形の性質の、

2組の向かいあう辺の長さは等しい

を証明していこう。

• △ABC
• △CDA

の三角形の合同を証明していくよ！

△ABCと△CDAにおいて、

四角形ABCDは平行四辺形だから、

AD // BC・・・・(1)

だね。

平行線の性質より錯角が等しいから、

角ACB = 角CAD・・・・(2)

になる。

同じように、

AB // CDより、

錯角が等しいから、

角BAC =  角DCA・・・・(3)

んで、

辺ACは共通だから、

AC = CA ・・・・・(4)

になるね。

(2)、(3)、(4)より、

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABC ≡ △CDA

になるね。

また、

対応する辺の長さが等しいから、

• AB = CD
• BC = DA

になる。

これで、平行四辺形の性質の、

「2組の辺の長さがそれぞれ等しい」

ってやつが証明できた。

証明2. 「2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい」

つぎは2つめの、

2組の向かいあう角の大きさがそれぞれ等しい

の証明だ。

さっき証明した、

△ABC ≡ △CDA

をつかおう。

対応する角がそれぞれ等しいから、

角ABC = 角CDA・・・・（5）

ってことがいえる。

△ABC と△CDAおなじように、

△ADCと△CBAの合同

も証明できる。※ここでは省略するね。

こいつらでも対応する角が等しいから、

角BAD = 角BCD・・・・（6）

ってことがいえるんだ。

（5）・（6）より、

• 角A = 角C
• 角B = 角D

がいえる。

よって、

2組の向かいあう角の大きさがそれぞれ等しい

っていう性質を証明できるんだ。

証明3. 「対角線は中点でまじわる」の証明

最後は、

対角線はそれぞれの中点で交わる

という性質を証明していくよ。

ここでは、

△ABMと△CMDの合同

を証明していくんだ。

△ABMと△CMDにおいて、

さっき証明した、

「2組のむかい辺はそれぞれ等しい」

っていう性質をつかうと、

AB = CD ・・・・(1)

ってことがわかる。

AB//CDより、錯角が等しいから、

角BAM = 角DCM・・・・(2)

角ABM = 角CDM・・・・(3)

(1)、(2)、(3)より、

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、

△ABM  ≡ △CDM

になる。

よって、

対応する辺はそれぞれ等しいから、

• AM = CM
• BM = DM

になるよー！

つまり、

平行四辺形の対角線は中点で交わるんだ。

おめでとう！

平行四辺形の性質を3つ証明できたね。

まとめ：平行四辺形の性質は三角形の合同の証明から！

平行四辺形の性質の証明はシンプル。

ぜーんぶ、

三角形の合同

からきているんだ。

合同な図形をしっかり見極めて、

ゆっくり証明していこう。

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruで執筆しています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いで始めました。