【一次関数の利用】2つの動点が台形上を移動する問題の解き方

一次関数の利用で必ずと言っていいほど出てくるのが、点が動く問題。ちまたでは、

動点の問題

と呼ばれているやつだ。

一番テストに出てくるのは「1つの点が動くパターン」だけど、中には応用問題で「2つの点が動く」問題が出ることがある。

例えば次のような問題さ。

 

 

2つ点が動くとか正直やめてほしいけど、今日はこの応用問題を気合いで乗り切っていこう。

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いくつの変域にわかれるか考えてみる

一次関数系の動点では、

関数の式が違う変域がいくつできるのか?

という見通しを最初につけるといいよ。

 

この問題では点PがAから、点QがCから毎秒1cmの速さで動くことになっているね?

しかも、辺の端まできたら折り返して、12秒間動く、らしい。

 

この12秒でどのように四角形ABQPの面積 (y) が変化するんだろうね??

分け方のポイントは、

動点が端っこの頂点に到着するタイミングで分けちゃう、かな。

 

ADはBCより短いから最初に、点PがDに着く。

そして、点Pに遅れてちょっとしてから点QがBに着くね。

このように点PとQは辺にたどり着くタイミングが微妙に異なっているから、次の4パターンの変域が考えられそうだ。

  1. PがDに着くまで(0 ≤ x ≤ 4)
  2. QがBに着くまで(4 ≤ x ≤ 6)
  3. PがAに戻るまで(6 ≤ x ≤ 8)
  4. QがCに戻るまで(8 ≤ x ≤ 12)

それぞれの変域で、四角形ABCDの面積がどうやって変化するか見ていけばいいんだね。

 

PがDに着くまで(0 ≤ x ≤ 4)

最初は、PがAを出発してからDに着くまで。

この場合、図をかいてみるとわかるけど、四角形ABQPは台形になるね。で、面積を求めるために必要なスペックたちは、

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  • 上辺 AP = x cm
  • 下辺 BQ = ( 6 – x ) cm
  • 高さ DC =  4 cm

になる。

ポイントはBQの長さかな。QはCからスタートしてBに向かっているから

CQ= x cm。

そして、そいつをBCの長さ 6 cm から引いたやつがCQの長さになるから、

BQ= BC – CQ

= 6 – x

になる。

 

さて。ここで台形ABQPの面積yを計算してやろう。

台形の面積の求め方は、

(上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

だったから、

台形ABQPの面積 y

= (上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

= (AP+BQ)× DC ÷ 2

= (x +6 -x)× 4 ÷ 2

= 12

になる。

うん、xが含まれていない定数だ。よって、0秒から4秒までは、P・Qがどこにいようが台形ABQPの面積は12ってこと。

 

QがBに着くまで(4 ≤ x ≤ 6)

ただし、その面積が一定の時間も終わりが来ちゃう。

PがDに到着して、折り返し始めたら四角形ABQPの面積は変化するよ。

 

この場合、APの長さが変化してきていて、

8  – x

になってるはず。

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ADを2倍した長さからPが動いた距離x を引けばAPの長さになるね。

ただ、相変わらず四角形ABQPは台形だから、同じように台形の面積公式で面積y を計算すると、

台形ABQPの面積 y= (上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

= (AP+BQ)× DC ÷ 2

= (8-x +6 -x)× 4 ÷ 2

= -4x + 28

になる。

この式から分かるのは、

このフェーズ(0 ≤ x ≤ 4)では時が経つにつれて面積が小さくなるってこと。

 

PがAに戻るまで(6 ≤ x ≤ 8)

お次はPがDに到着して、PがAに戻るまでの時間。

6秒から 8 秒までの時間だね。

 

この変域でのポイントは、BQの長さが変化しているという点。

QはBに到着して、折り返しているから、

BQ=Qが進んだ距離 – BCの長さ= x – 6

になる。

すると、四角形ABQP(というか台形)の面積を計算すると、

台形ABQPの面積 y= (上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

= (AP+BQ)× DC ÷ 2

= (8-x +x  – 6)× 4 ÷ 2

= 4

になるね。

あら不思議。またまた四角形ABQPの面積yが一定になっちゃったのさ。

 

QがCに戻るまで(8 ≤ x ≤ 12)

最後はQがCに戻るまで。

このタイミングは、Pが2回目にDに到着するタイミングでもあるとも言えるね。

つまり、変域で表すと

8 ≤ x ≤ 12

になる。

 

この時ポイントは、APの長さが変化しているということ。

さっきのフェーズでPはAに到着して、折り返してDを目指しているはず。

だから、

APの長さ = Pが進んだ距離 – ADの2倍の距離= x – 8

になるね。

このAPの長さを使って四角形ABQP(というか台形)の面積を計算すると、

台形ABQPの面積 y= (上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

= (AP+BQ)× DC ÷ 2

= (x – 8 +x  – 6)× 4 ÷ 2

= 4x – 28

になる。

ふう、これで全部の変域における関数式が出せたぜ。

あとはそれぞれの式をグラフにするとこんな感じになるかな。

 

四角形ABQPが台形ABCDの4分の1になるのはいつ?

まあ、ここらへんで疲れたから解くのをやめたいところだけど、あと1つやることがある。

それは、例題の(2)の

四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのはいつ?

っていう問いだ。

つまり、何をしろって言ってるのかというと、

yが特定の値になる時のxを求めよ

ということ。

 

まずは問題で問われている「台形ABCDの面積の4分の1」がいくつなのか探っていこう。

台形ABCDは上辺が4、下辺が6、高さが4の台形だから、

(4 + 6 )× 4 ÷ 2= 20 cm²

という面積になる。この4分の1は「5 cm²」だ。

 

ここで、さっき適当にかいたグラフに注目。

yが「5 」になっている箇所を探してみると、2つヒットだ。

  • QがBに着くまで(4 ≤ x ≤ 6)
  • QがCに戻るまで(8 ≤ x ≤ 12)

という2つの変域でyが5になる瞬間があるじゃないか。

ということで、これら2つの変域の関数にそれぞれy=5を代入して、その時のxを求めればいいことになる。

 

まず、QがBに着くまで(4 ≤ x ≤ 6)の場合。

y = -4x + 28

に y = 5を代入すると、

5 = -4x + 28x= 4分の23

になるね。

 

あと1つは、QがCに戻るまで(8 ≤ x ≤ 12)の場合。

y = 4x -28

に y = 5を代入しよう。

すると、

5 = 4x -28x = 4分の33

になる。

 

ってことで、四角形ABQPの面積yが5 cm²になる時間は、

  • 4分の23秒
  • 4分の33秒

の2つだ。

いやーほんとおつかれさま。

動点が2つあるとこんなに厄介だとは思わんかったな。

学校のテストでは動点が1つの基本形がよく出てくるけど、入試や模試などの応用問題では出現することがあるから対策しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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4 個の質問と回答

  • 面積が一定になる時があるのは、高さが変化しないからですか?

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