【一次関数の利用】2つの動点が台形上を移動する問題

 

一次関数の利用」で必ず出てくるのが、

点が動く問題。

ちまたでは、

動点の問題

と呼ばれているやつだ。

 

一番テストに出てくるのは「1つの点が動くパターン」。

だけど、厄介なことに、たまーに、

2つの点が動く」問題が出ることもある。

例えば次のような問題さ。

 

 

今日はこの応用問題を気合いで乗り切っていこう。

 

変域を考える

一次関数の動点では、

変域がいくつできるのか?

と見通しをつけるといいよ。

 

この問題では

点PがAから、点QがCから毎秒1cmの速さで動く

という条件があるね?

しかも、辺の端まできたら折り返して、12秒間動く、らしい。

 

12秒で四角形ABQPの面積 (y)はどのように変化するんだろう??

分け方のポイントは、

動点が頂点に到着するタイミングで分ける

だよ。


 

ADはBCより短いから最初に、点PがDに着く。

そして、点Pに遅れてちょっとして点QがBに辿り着く。

PとQは、頂点にたどり着くタイミングが微妙に異なるから、4つの変域が考えられそう。

  1. PがDに着くまで($0 ≤ x ≤ 4$)
  2. QがBに着くまで($4 ≤ x ≤ 6$)
  3. PがAに戻るまで($6 ≤ x ≤ 8$)
  4. QがCに戻るまで($8 ≤ x ≤ 12$)

それぞれの変域で、四角形ABCDの面積の変化をみればいいんだ。

 

PがDに着くまで($0 ≤ x ≤ 4$)

まずはPがAを出発してからDに着くまで。

 

 

図をかくとわかるけど、四角形ABQPは台形になる。

で、面積を求めるために、

  • 上辺 AP = x cm
  • 下辺 BQ = ( 6 – x ) cm
  • 高さ DC =  4 cm

という辺の長さが必要だね。

 

 

ポイントはBQの長さ。

QはCからスタートしてBに向かっているから

$$CQ= x cm$$

そして、そいつをBCの長さ 6 cm から引いたやつがCQの長さになるから、

$$BQ= BC – CQ$$

$$= 6 – x$$

になる。

 

さて。ここで台形ABQPの面積yを計算しよう。

台形の面積の求め方は、

(上の辺+下の辺)×(高さ)÷2

だったから、

$$y = (AP+BQ)× DC ÷ 2$$

$$= (x +6 -x)× 4 ÷ 2$$

$$= 12$$


になる。

0〜4秒では、台形ABQPの面積はずーっと12ってこと。

 

QがBに着くまで($4 ≤ x ≤ 6$)

PがDに到着して、折り返しを始めたら、四角形ABQPの面積は変化するよ。

 

この場合、APの長さが変化してきていて、

$$8  – x$$

になってるはず。

 

ADを2倍した長さから、Pが動いた距離「x」を引くとAPになるね。

ただ、相変わらず四角形ABQPは台形さ。

同じように台形の面積 y を計算すると、

$$y = (AP+BQ)× DC ÷ 2$$

$$= (8-x +6 -x)× 4 ÷ 2$$

$$= -4x + 28$$

になる。

この式から分かるのは、

このフェーズ($0 ≤ x ≤ 4$)では時が経つにつれて面積が小さくなるってこと。

 

PがAに戻るまで($6 ≤ x ≤ 8$)

お次はPがDに到着して、PがAに戻るまでの時間。

6〜8 秒までだね。

 

ここでのポイントは、BQの長さが変化していること

QはBに到着して、折り返しているから、

BQ=

Qが進んだ距離 – BCの長さ

= x – 6

になる。

すると、四角形ABQP(というか台形)の面積yを計算すると、

$$y = (AP+BQ)× DC ÷ 2$$

$$= (8-x +x  – 6)× 4 ÷ 2$$

$$= 4$$

になるね。

あら不思議。

またまた面積yが一定になっちゃった。

 

QがCに戻るまで($8 ≤ x ≤ 12$)

最後はQがCに戻るまで。

このタイミングは、Pが2回目にDに到着するタイミングでもあるとも言えるね。

変域で表すと

$$8 ≤ x ≤ 12$$

になる。

 

この時ポイントは、APの長さが変化していること。

PはAに到着して、折り返してDを目指しているはず。

だから、

APの長さ

=Pが進んだ距離 – ADの2倍の距離

= x – 8

になる。

 

 

四角形ABQP(というか台形)の面積yを計算すると、

$$y= (AP+BQ)× DC ÷ 2$$

$$= (x – 8 +x  – 6)× 4 ÷ 2$$

$$= 4x – 28$$

になる。

ふう、これで全部の変域における関数式が出せたぜ。

 

それぞれの式をグラフにするとこんな感じ。

 

 

四角形ABQPが台形ABCDの4分の1になるのはいつ?

あと1つやることがある。

それは、例題の(2)の

四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の4分の1になるのはいつ?

に答えること。

つまり、これ、

yが特定の値になる時のxを求めよ

という問題だ。

 

まずは「台形ABCDの面積の4分の1」がいくつか探っていこう。

台形ABCDは上辺が4、下辺が6、高さが4の台形だから、

$$(4 + 6 )× 4 ÷ 2$$

$$= 20 cm²$$

という面積になる。この4分の1は「$5 cm²$」だ。

 

ここで、さっき適当にかいたグラフに注目。

yが「5 」になっている箇所を探してみると、2つヒットだ。

 

 

  • QがBに着くまで($4 ≤ x ≤ 6$)
  • QがCに戻るまで($8 ≤ x ≤ 12$)

という2つの変域でyが5になる瞬間があるじゃないか。

ということで、これら2つの変域の関数にそれぞれ$y=5$を代入して、その時のxを求めればいいことになる。

 

まず、QがBに着くまで($4 ≤ x ≤ 6$)の場合。

$$y = -4x + 28$$

に $y = 5$を代入すると、

$$5 = -4x + 28$$

$$x= \frac{23}{4}$$

になるね。

 

あと1つは、QがCに戻るまで($8 ≤ x ≤ 12$)の場合。

$$y = 4x -28$$

に$y = 5$を代入しよう。

すると、

$$5 = 4x -28$$

$$x = \frac{33}{4}$$

になる。

 

ってことで、四角形ABQPの面積yが$5 cm²$になる時間は、

  • $\frac{23}{4}$秒
  • $ \frac{33}{4}$秒

の2つだ。

 

いやーほんとおつかれさま。

動点が2つあるとこんなに厄介だとは思わんかったな。

応用問題では出現することがあるから対策しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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4 個の質問と回答

  • 面積が一定になる時があるのは、高さが変化しないからですか?

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