なぜ相似比をつかって面積比が計算できるのか??

なんで相似比から面積比がわかるの???

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

面積比の公式をにらんでいました。

 

相似比 面積比

 

かなちゃん

だああー!

何で面積比が求まるの?

意味不明!!

ゆうき先生

おっ!

相似比から面積比もわかるってやつだね。

かなちゃん

相似比が面積比に……?

もっとわけわかんない……

ゆうき先生

よし、じゃあ今回は、

相似比と面積比のつながり

を見つけていこう!

 

 

相似比から面積比が求められる2ステップ

ゆうき先生

相似比から面積比がだせる理由は、

つぎの2ステップをふむとわかりやすいよ。

  1. 正方形で考える
  2. 三角形で考える
かなちゃん

へー!

2ステップなら楽勝じゃん!

ゆうき先生

そうそう!

いけるいける!

 

 

Step1. 「正方形の面積比を考える」

ゆうき先生

まずは、

正方形の面積比を考えてみよう。

かなちゃん

何で?

ゆうき先生

面積比の公式をみちびきやすいからかな!

たとえば、

2つの正方形A・Bに注目してみて。

1辺の長さが3cmと5cmの正方形ね。

 

相似比 面積比

 

かなちゃん
おー

ゆうき先生

まずは、2つの正方形の面積を求めてみようか。

正方形の面積の公式をつかってね。

 

かなちゃん

正方形の面積の求め方は、

一辺を2乗するだけだよね??

小さい正方形Aの面積は9㎠で、

大きい正方形Bは25㎠かな!

ゆうき先生

いいね。

次はそこから面積比を求めてみよう!

かなちゃん

面積比は、

9:25

だ!

 

相似比 面積比

 

ゆうき先生

ここで、登場するのが相似比

2つの正方形の相似比はいくつ??

かなちゃん

えっと・・・

相似比は1辺の長さの比をとればいいから、

3:5かな!

相似比 面積比

 

ゆうき先生

おっ。いいね。

相似比と面積比くらべると・・・??

かなちゃん

あっ。

ああああああー

相似比の2乗が面積比になってない??

相似比 面積比

 

ゆうき先生
そう!相似比がa:bなら、

面積比はa²:b²になるんだ。

相似比 面積比

 

 

Step2. 「三角形にわけて考える」

ゆうき先生

形は様々だけど、

どの図形も三角形に切り分けることが出来るんだ。

かなちゃん

なるほど!

ってことは、

今度は三角形で考えろってこと?

ゆうき先生

鋭いね!

次は三角形で考えていくよ。

相似比がa:bの三角形。

それぞれの面積を求めよう。

かなちゃん

三角形の面積の求め方は、

底辺×高さ÷2

だよね??

ay×ax÷2だから小さい方が1/2 a²xyで、

同じように計算すると、大きい方が1/2b²xy!

相似比 面積比
ゆうき先生

いいね。

ここで、2つの図形の面積を比べると……?

かなちゃん

あっ、

面積比を簡単にすると、

a²:b²になる!

 

相似比 面積比

 

ゆうき先生

で、他の図形も分けて考えれば三角形と同じだから、

相似比がa:bなら、面積比はa²:b²って関係が当てはまるんだ!

かなちゃん

そういうことか!

合点!!

 

 

まとめ:相似比を2乗すると面積比になるね!

ゆうき先生

どう?

何で相似比が分かると、

面積比を求められるのかが分かったかな?

  • 正方形で考えてみる
  • 三角形で考えてみる

の2ステップでいいんだ。

かなちゃん

計算するとそうなるっていうのはわかったけど、

公式は覚えるの嫌だしそもそも覚えられない。

ゆうき先生
そこか!

確かに、最初は慣れないし、何度も使うしかないね。

かなちゃん

なんか、いい方法ないかな……

ゆうき先生

正方形を思い出すって手もあるよ。

何がいいかは人それぞれだね。
自分にあった覚え方を見つけてみよう!

かなちゃん

ういす!

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質問と回答

  • 平成28年度の埼玉県公立高校問題の数学で、問3の⑵が解説を見てもよくわからないので、詳しくもっとわかりやすくお願いします。

  • >平成28年度の埼玉県公立高校問題の数学で、問3の⑵

    どんな問題かな?送ってみて

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