【一次関数】垂直な直線の式の求め方がわかる2ステップ

一次関数で垂直な直線の式を求めたい!

前回、「平行な2直線の求め方」を勉強してきたね?

今回はそれと似たようなやつで、

ある直線に「垂直な」式を求める問題

にチャレンジしよう。

例えば、次のような問題↓

 

状況を図にかくとこんな感じ。

 

 

点線になっている一次関数の式を求めるんだ。

この手の問題は次の方法で解けるはず。

 

Step1. 傾きを求める

2直線が垂直だったらわかること。


 

それは、

2直線の傾きをかけたら 「- 1」になる

こと。

 

例えば「$y = – 3x + 4$」に垂直な直線の傾きを考えてみよう。

傾き「- 3」にかけたら 「- 1」になる傾きを求めればいいんだ。

求めたい直線の傾きを「a」とすると、

$$- 3 a = -1$$

$$a = \frac{1}{3}$$

と出てくるね。

 

 

って感じで、垂直ってヒントから、一次関数の傾きがわかっちまうんだ。

 

Step2. 座標を代入する

さっきのステップで$y = ax + b$の傾きが分かった。

 

あとは座標を代入して「切片b」を求めよう。

例題では


点(3,  – 1)を通る

っていうヒントがあったから、この座標を代入しよう。

 

 

すでに傾きは$\frac{1}{3}$とわかったから、

$$y = \frac{1}{3} x + b$$

$$-1 = \frac{1}{3} × 3 + b$$

$$b = -2$$

となるね。

 

 

なぜ傾きをかけたら「- 1」になるのか?

ここで疑問に思うのが、

垂直な2直線の傾きをかけたらなぜ「- 1」になるのか?

ってこと。

シンプルでわかりやすいけど、理由を教えてもらえないとしっくりこないよね。

 

これを証明するには、中学3年生でならう三平方の定理を使うよ。

 

 

例えば$y =mx$、$y = nx$という1次関数(比例)があったとしよう。

そして、直線上にx座標が「1」の点A、Bがあるシチュエーションを想像してくれ。

 

 

このとき、ABの長さはAのy座標からBのy座標を引いて

$$m – n$$

になるはず。

 

 

三平方の定理を使うと

$$OA =\sqrt{(1² + m²)} $$

$$OB = \sqrt{(1² + n²)}$$

と計算できる。

 


 

直角三角形OABに注目して、三平方の定理を使うと、

$$AB²  = OA²  + OB²$$

$$(m – n)^2 =  {\sqrt{(1² + m²)}}^2  + {\sqrt{(1² + n²)}}^2$$

$$2mn = -2$$

$$mn = -1$$

となる。

「m」と「n」は垂直な直線の傾きだから、

垂直な2直線の傾きをかけると-1になる

って証明できるね。

 

こんな感じで、垂直な直線の傾きをかけると -1 になるから便利。

ついでに、なぜそうなるのかを理解しておけば怖いものなしだ。

テストに出てきやすいからよーく復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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