【一次関数】垂直な直線の式の求め方がわかる2ステップ

一次関数で垂直な直線の式を求めたい!

前回、一次関数で出てきやすいタイプの「平行な2直線の求め方」を勉強してきたね?

今回はそれと似たようなやつで、

ある直線に「垂直な」式を求める問題

にチャレンジしてみよう。

例えば、次のような問題だ↓

 

この状況を図にかいてみるとこんな感じかな。

この手の一次関数の問題は次の方法で解けるはず。

 

 

Step1. 傾きを求める

2直線が垂直だったら何がわかるんだろうね?

2直線が平行の時と同じように、垂直の時も決まりがあるんだ。

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それは、

傾き同士をかけたら – 1になる

というルールだ。

例えば、y = – 3x + 4に垂直な直線の傾きを考えてみよう。

この直線の 傾き「- 3」にかけたら – 1になる傾きを求めればいいってことになる。

その求めたい直線の傾きをaとすると、

– 3 a = -1

a = 3分の1

と出てくるね。

って感じで、垂直ってヒントから、一次関数の傾きがわかっちまったね。

 

Step2. 座標を代入する

あとは平行な直線の問題の解き方と同じ。

さっきのステップでy = ax + bの傾きが分かった。

 

あとは座標を代入して、切片のbを求めよう。

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例題では

点(3,  – 1)を通る

っていうヒントがあったから、この座標を直線の式に代入するといい。

さっきのステップですでに直線の傾きが3分の1とわかっていたから、

y = 3分の1 x + b

-1 = 3分の1 × 3 + b

b = -2

となるね。

 

 

なぜ傾きをかけたら – 1になるのか?

うん、垂直な2直線の問題だろうが解けるようになったね。

ただ、ここで疑問に思うのが、

なぜ、垂直になっている2直線の傾きをかけたら – 1になるのか

ってことじゃない?

シンプルでわかりやすいけど、訳を教えてもらえないとしっくりこないよね。

 

実はこれを証明するには、中学3年生ならう三平方の定理を使っていくよ。

 

 

例えばy =mx、y = nxという2つの1次関数(比例)があったとしよう。

そして、それぞれの直線上にx座標が1の点A、Bがあるシチュエーションを想像してくれ。

このとき、ABの長さはAのy座標からBのy座標を引いて

m – n

になるはず。

そして、三平方の定理を使うと

  • OA = √(1² + m²)
  • OB = √(1² + n²)

と計算できる。

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ここで直角三角形OABに注目して、三平方の定理を使うと、

AB²  = OA²  + OB²

( m – n )² =  { √(1² + m²)} ²  + { √(1² + n²)}²

2mn = -2

mn = -1

となる。

mとnは垂直な直線の傾きだったから、このことより、

垂直な2直線の傾きをかけると-1になる

ってことが証明できるね。

 

こんな感じで、垂直な直線の傾きをかけると -1 になるから便利。

ついでに、なぜそうなるのかまで理解しておけば怖いものなしだ。

割とテストに出てきやすいから復習しておこう。

 

そんじゃねー

Ken

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