円周角の定理とはなんだろう？！？
やあ、ぺーたーだよ。
中3数学もいよいよ大詰め。
いよいよ、
円の性質っていう単元
を勉強していくよ。
今日は、この単元でいちばん大事な、
円周角の定理とはなにか？？
をまとめてみたんだ。
計算や証明で使ったりするから、しっかりおさえてあげてね。
= もくじ =
- 円周角・中心角とは？？
- 円周角の定理とは？？
- 円周角の定理をつかった練習問題
円周角・中心角とはなにもの？？
円周角の定理を理解するためにはまず、
- 円周角
- 中心角
の2つの意味を知らないとね。
まず円周角からだ。
円周角とは？
円周角とはなんだろう？？
Wikipediaをみてみると、
ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。
ってかいてある。
これはちょっとむずかしいw
正直、ユークリッドとかわけわからんよね。
円周角をもうちょっと簡単にいってあげると、
「円周上の1点」と、
そいつと被らない円周上の2つの点を、
線分でむすんだときに、
できる角度のことを、
円周角（えんしゅうかく）
とよんでいるんだ。
たとえば、つぎの円Oがあったとしよう。
円周上の点をA・B・Pとするよ。
このとき、
∠APBを弧ABに対する円周角
っていうんだ。
こんなかんじで、円周角には、
弧○○の円周角
というかんじで、どこかの弧に属してるってわけ。
中心角とは？？
つぎは中心角。
中心角を数学用語集でしらべてみると、
弧の両端を通る2つの半径の作る角
らしいね。
これはわかりやすい。
「円の弧」の、
「両端を通る2つの半径」が、
つくる角を、
中心角（ちゅうしんかく）
というんだ。
たとえば、下の円Oだったら、
∠AOBが弧ABに対する「中心角」
ってわけね。
中心角も円周角とおなじように、
弧○○っていうかんじでどこかの弧に属しているよ。
円周角と中心角の違いはOKかな？
この2つの違いはしっかり理解しておいてね！
円周角の定理とはなにもの？？
円周角の定理は、
円周角の決まりみたいなもんだ。
大切だからきっちり覚えてね！
円周角の定理は2つの性質があるよ。
- 1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である。
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
つまり、
- 同じ弧に対する「円周角」と「中心角」の関係
- 同じ弧に対する「円周角」と「円周角」の関係
の2つの円周角の定理があるんだ。
どっちも、
「同じ弧に対する」
っていう条件が含まれてることに注意ね。
定理1. 「円周角は中心角の半分」
まずは、円周角と中心角の性質からだね。
1つの弧に対する円周角の大きさは、
その弧に対する中心角の半分である
っていう定理なんだ。
たとえば、つぎのような円Oがあったとしよう。
このとき、円周角APBは中心角AOBの半分になるんだ。
式であらわしてやると、
角APB = ½ 角AOB
になるね。
これが、円周角の定理のうち、
同じ弧に対する円周角と中心角の関係ってやつね。
だから、もし、円周角APBが「50°」だとしたら、
中心角AOBは「100°」になるってわけだね。
定理2. 「同じ弧に対する円周角は等しい」
つぎは、円周角の性質だね。
なんと、同じ弧の円周角ならすべて等しいんだ。
この定理でも、
“同じ弧に対する”
っていう点に注意してね。
たとえば、下の円Oをみてみて。
もし、弧ABに対する円周角APBが「50°」だとしたら、
∠AQB = 50°
になるはずなんだ。
なぜなら、
両方とも弧 ABの円周角だからね。
実践問題でなれよう！円周角の定理
円周角の定理がどんなものかわかったかな？
最後に円周角の定理を使った例題を解いてみよう。
次の図の∠ｘの大きさを求めてみて。
練習問題1.
こいつはそんなに難しくないかもね！
1つの弧に対する円周角の大きさは等しいから、
∠APB = ∠AQB
になるんだ。
だから∠ｘ=36°だね！
練習問題2.
この問題は解けそうかな？
弧ABの円周角がｘ、∠AOBが弧ABの中心角
っていうことを見抜けると答えが出るよ。
そうすると円周角の定理の、
1つの弧に対する円周角の大きさは
その弧に対する中心角の半分である
をあてはめてやって、
∠ｘ=104÷2
=52
ってことで、
答えは52°だね！
まとめ：円周角の定理はしっかり覚えよう！
どうだったかな？
円周角の定理がどんなものか
理解できたかな？
どこが円周角で、どこが中心角なのか
ぱっぱと頭の中で分かるようになるのがカギだね。
円周角の定理を使った問題をくりかえしやってみてね。
最初にも言ったけど、証明問題でも活躍するから覚えといてね！
じゃあ、お疲れ！またね！
ぺーたー
静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める
円周角の証明を教えてください
円周角の定理の証明を読んでみて！
わかりやすかったです！
ありがとう！！
塾で全然分からず焦っていたので助かりました！
ありがとうございます！！
よかった！！^^ リラックスしていこうぜ！
その弧の中なら三角形が二個あっても足せば円周角になるんですか？
同じ弧に対する中心角は、円周角の２倍だからね！
わかりやすかったです。
ありがとうございました。
ありがとう！！
とてもわかりやすかったです！
勉強のペースが遅くて焦っていたので助かりました！！またわからない問題があれば質問させて頂きます(>_<)
有難うございました！！
ありがとう！！自分のペースでコツコツ頑張ってこうぜ！
いつもわかりやすくて参考にさせてもらってます！！
質問なんですが、中心角と一つの円周角が分かっている場合、もう一つの円周角はどうやって求めるのですか？何度やっても出来ません。
>中心角と一つの円周角が分かっている場合、もう一つの円周角はどうやって求めるのですか？
もし求めたい円周角が角度がわかってる円周角の弧と同じだったら角度は等しいね。
中心角と弧を共有していたら、中心角の二分の一の大きさが円周角になるはずだ
なんとか数検安心して受けれそうです。助かりました(´ヮ`)
円周角とか授業で聞いても、いまいちよくわからなかったんですけど この記事はわかりやすくて とても参考になったしわかりやすかったです！
塾でやったのですが、良く分からなかったので、助かりました。
どの記事の解説も分かりやすくて、参考にさせてもらってます。
等分して角度を求める形式の問題がわかりません
ありがとう！！基本を押さえればこっちのもんだぜ！
(6-x)^2の展開は
(36-12x+x^2)
で良いですか？
>(6-x)^2の展開は
(36-12x+x^2)
で良いですか？
そうだね！
心配な時は乗法の公式を復習してみてね！
円周角の一辺が中心角の半径の一辺と重なっていても円周角の定理は成立しますよね？
>円周角の一辺が中心角の半径の一辺と重なっていても円周角の定理は成立しますよね？
そうだね！
正直、学校より分かりやすかったです笑
ありがとうございます！
ありがとう！笑
弧が２倍、３倍になると、円周角・中心角の角度も２倍、３倍になるのですか？
>弧が２倍、３倍になると、円周角・中心角の角度も２倍、３倍になるのですか？
そうだね！
弧の長さが２倍、３倍・・・になると、円周角・中心角も２倍、３倍・・・になるのですか？
>弧の長さが２倍、３倍・・・になると、円周角・中心角も２倍、３倍・・・になるのですか？
そうだね〜
塾の先生よりもわかりやすかった・・・
わかりやすい
すごくわかりやすかったです！
冬休みの宿題で、まだ習っていない範囲もあったので非常に助かりました。予習にもなって本当にありがたいです。
ありがとう〜！よかったあ〜
いつも見させていただいています^ ^
中3ですがすごく分かりやすかったです(*^^*)
受験の勉強にも本当に役立っています！
とてもありがたいです
とてもわかりやすい内容でした！
もう、塾でクラス変わって飛ばされた単元だったのでよくわからなかったのですが、これで解決できました！！
良かった！独学する姿勢がすばらしいね！
とてもわかりやすいです
高1です。分かりやすかったです
前買った参考書にはこの単元ありませんでした。何かオススメの参考書ありますか？私立推薦ですがとてもバカなのでw
あれば教えていただけるとうれしいです！
数検3級対策に役立ちました！