【中学数学】三角錐の高さの求め方がわかる4つのステップ

三角錐の高さの求め方がわからない！

こんにちは、この記事をかいているKenだよ。ペプシはダイエット一択だね。

三角錐の高さを求めなさい！

っていう問題はたまに出てくるね。たとえば次のように出題されることがあるよ。

例題

つぎの三角錐ABCDがある。底面を三角形ACDとしたときの高さを求めて！

• AB = 6 cm
• BC = 6 cm
• BD = 6 cm

つまり、

頂点Bから三角形ACDにおろした垂線の長さを求めろ！

ってことだね^^

三角錐の高さの求め方がわかる4つのステップ

「三角錐の高さ」はつぎの4ステップで計算できるよ。

Step1. 　三角錐の体積を計算する！

まずは三角錐の体積を求めてみよう。

どの「底面積」と「高さ」を使っても大丈夫^^

例題でいうと、

• 三角形ABCを底面
• BDを高さ

とすれば三角錐ABCDの体積を求めることができるね。

求め方は「底面積×高さ×1/3」だから、

(6×6×0.5)×6×1/3

= 36 [cm^3]

になるね！

Step2. 底面積を求める！

問題で指定されている「底面積」を求めよう！

例題では、

「三角形ACD」を底面とするときの高さ

っていう指定されているよね？？

だから、三角形ACDの面積を計算してやればいいんだ！

AC、AD、CDの長さを三平方の定理をつかって計算してみると、

ぜんぶ「6√2」になるよね。

ってことは、三角形ACDは1辺が6√2の正三角形ってことだ！

こいつの面積を求めてあげよう。

三平方の定理をつかって高さを求めて（3√6）、面積を計算すると、

6√2×3√6×0.5

= 18√3 [cm^2]

になるね！

Step3. 方程式をたてるっ！

三角錐の高さ（指定された底面からの）についての方程式をつくってみよう。

つまり、

「三角錐の高さ」を変数と置いた方程式ってことだね。

そいつを解けば、三角錐の高さが求められるってことになる。

例題をみてみよう。

頂点Bから三角形ACDに垂線をおろしたとき、三角形ACDと垂線の交点をHとする。

このとき、三角錐ABCDの高さはBHになるよね。

BHの長さを変数とおいて方程式とたててやると、

（△ACDを底面とした時の体積）＝（△ABCを底面とした時の体積）

1/3 ×18√3 × BH  = 36

ってなるよ。

Step4. 方程式を根性でとく

あとはStep3でたてた方程式をといてあげるだけ！

方程式の解き方の基本を思い出しながら慎重にといてみてくれ。

1/2 × 18√3 × BH  = 36

っていう方程式を解くと、

BH = 2√3

っていう解がゲットできるね。

これが「底面を△ACDとしたときの三角錐の高さ」だね！

おめでとう^^

まとめ：三角錐の高さは方程式をたてて算出するっ！

三角錐の高さの求め方はどうだった？？

「体積」と「底面積」を計算して方程式をつくるだけさ。

慣れれば5分以内に高さをゲットできるようになるはずだ。

テスト前によーく復習しておこう！

そんじゃねー

Ken

Ken

Qikeruで執筆しています。

「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」

そんな想いで始めました。