【中点連結定理】平行四辺形の証明問題の解き方3ステップ

中点連結定理をつかった平行四辺形の証明問題！？

どーも、ぺーたーだよ。

中点連結定理をつかった証明問題はたくさん、ある。

なかでもよくでてくるのは、

平行四辺形であることを証明する問題

だ。

たとえば、つぎみたいな証明問題ね。

みんなけっこう難しいって

思ってるんじゃないかな？

今回はどうやって、

中点連結定理で平行四辺形を証明するのか

を3ステップで証明していくよ。

中点連結定理で平行四辺形を証明する3つのステップ

さっそく証明問題をといていくよ。

Step1. 対角線をひく

証明を始める前に1つだけやることがあるんだ。

それは、

対角線を1本かいてあげること！

そうするとこうなるね ↓↓

今回は、対角線BDをひいたけど、ACでも同じだからね。

Step2. 中点連結定理をつかう

対角線を引いたら、いくつか三角形が見えてくるよね？

練習問題でいうと、

• △AEH
• △ABD
• △CGF
• △CDB

の4つだね。

平行四辺形を証明するために

2組の三角形に分けてみてみよう。

まずは△AEHと△ABDに注目してみて。

EとHはそれぞれ、

辺ABと辺ADの中点だよね？？

ってことは、中点連結定理をつかうと、

EH // BD・・・(1)

EH = 1/2 BD・・・(2)

がいえるんだ。

おなじことを△CGFと△CDBでもやってみよう。

FとGは、辺BGと辺DCの中点。

ってことで、中点連結定理がつかえるから、

FG // BD・・・(3)

FG = 1/2 BD・・・(4)

になるね。

Step3. 平行四辺形になる条件をつかう

最後は平行四辺形になる条件をつかうよ。

5つの条件を見なくても言えるかな？（笑）

• 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
• 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
• 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
• 対角線が中点で交わる
• 1組の対辺が平行で長さが等しい

くわしくは平行四辺形になるための5つの条件をよんでみてね。

ちなみに、中点連結定理を使って平行四辺形を証明する問題は

1組の対辺が平行で長さが等しい

を使うのがほとんど。

今回もこの条件をつかうよ。

(1)と(3)から、

EH//BD//FGになるね。

つまり、

EH//FG・・・（5）

がいえるわけだね。

また、(2) と (4)から、

EH = FG = 1/2 BD・・・（6）

がいえるね。

EHとFGの両方がBDの半分になってるからさ。

んで、

(5)と(6)より、平行四辺形になる条件の、

1組の対辺が平行で長さが等しい

がつかえるわけだね。

だから、

四角形ABCDは平行四辺形

ってわけ。

おめでとう！

これで証明おしまい！

まとめ：対角線を引いて中点連結定理に持ち込め！

中点連結定理をつかった平行四辺形の証明はどうだった？？

この問題のポイントは、

対角線の補助線がひけるかどうか

だね。

平行四辺形を証明する問題は数をこなすのが一番！

おぼえるまで何回かといてみてね。

じゃあねー

ぺーたー

ぺーたー

静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める