【文字式の利用】連続する3つの整数の和が3の倍数になる証明

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連続する3つの整数の和が3の倍数になるってほんと!?

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。おしぼりは無敵だね。

 

文字式の利用で、

連続する3つの整数の和の問題

ってでてくるよね。

 

たとえば、つぎの問題 ↓↓

 

例題

連続する3つの整数の和が3の倍数になる訳を説明しなさい。ただし、整数は正の数とする。

 

日常生活では3つの整数の和なんて考えないよね??

だって、必要ないもん。

 

でもね、中2数学の問題ではよくでてくる証明なんだ。

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今日はこの問題を攻略してみよう!

 

 

連続する3つの整数の和の証明がわかる4ステップ

4ステップで証明できちゃうよ。

  1. nを整数とする
  2. 連続する3つの整数をnであらわす
  3. たす
  4. さけぶ

 

さっきの例題をといていこう!

 

例題

連続する3つの整数の和が3の倍数になる訳を説明しなさい。ただし、整数は正の数とする

 

 

Step1. 整数をnとする

ある正の整数を「n」としてみて。

nは「正の整数」だから、

1にもなるし、2にもなるし、10にだってなるんだ。

 

えっ。なぜ「n」を使わなきゃいけないんだって?!

えっ?

zを使いたい??

 

じつは、nは英語の「number (数字)」からきているんだ。

 

連続する3つの整数の和

 

ぶっちゃけzとかqでもいいんだけどさ。

nをつかうとカッコいいじゃん?笑

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とりえあず正の整数を「n」とおこう!

 

 

Step2. 連続する整数をnであらわす

連続する3つの整数をnであらわそう!

連続する3つの整数ってたとえば、

1, 2, 3

みたいに、1ずつ違う整数のことだ。

 

連続する3つの整数の和

 

たとえば、

1, 4, 5

とかは連続してないね。

だって、1ずつ離れてないし。

 

連続する3つの整数の和

 

nであらわすときは、

連続する3つの整数のうち、正の整数nを、

真ん中の整数

とおくといいよ。

連続する3つの整数の和

そうすると、

  • 一番小さい整数
  • 一番大きい整数

をnで簡単にあらわせるからね。

 

連続する3つの整数は1ずつ離れてる。

よって、

  • n-1
  • n
  • n+1

になるはずだ!

 

連続する3つの整数の和

 

 

 

Step3. たす

つぎは、連続する3つの整数をたそう。

nであらわした、

  • n-1
  • n
  • n+1

をたせばいいんだ。

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ぜんぶたしてみると、

(n-1)+n+(n+1)
= 3n

になるね!

連続する3つの整数の和

 

 

Step4. 和が3の倍数になると証明する

最後に、和が「3の倍数」になる証拠をみつけよう。

証拠がみつかれば、

連続する3つの整数の和が「3の倍数」である

って証明できるからね。

 

例題でいうと、

連続する3つの整数の和は、

3n

になったね。

 

で、nは正の整数だったよね??

ってことは、

3n

は3の倍数になるんだ!

 

連続する3つの整数の和

 

だって、「n」には1とか2とか6とかがはいるわけだからね。

そいつらが3倍されたら、

  • 1→3
  • 2→6
  • 3→9

3の倍数になるじゃん??

 

連続する3つの整数の和

 

だから、連続する3つの整数の和は3の倍数っていえるんだ!

 

 

まとめ:連続する3つの整数の和は3の倍!

この問題は、

  1. 正の整数をnであらわす
  2. 連続する整数たちをnであらわす
  3. たす
  4. さけぶ

の4ステップで証明できちゃう。

どんどんさけんでいこう。

そんじゃねー

Ken

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11 個の質問と回答

  • 「1,3,5,7のような連続する4つの奇数のうちの2番目に小さい数をnとするとき、4つの奇数の和をnを用いた式で表しなさい。」
    よくわかりません。解説で、{4つの奇数はn−2,n,n+2,n+4と表せる}とあったのですが…何故そう表せるのでしょうか(_ _)

  • >「1,3,5,7のような連続する4つの奇数のうちの2番目に小さい数をnとするとき、4つの奇数の和をnを用いた式で表しなさい。」
    よくわかりません。解説で、{4つの奇数はn−2,n,n+2,n+4と表せる}とあったのですが…何故そう表せるのでしょうか(_ _)

    奇数をnとすると、その次の奇数は、次の偶数の次だから+2しないとね。
    逆に、その前の奇数だったら前の偶数の前だからー2するんだ

  • xの3乗たすyの3乗
    yの4乗たすxの4乗

    の考え方(展開の方法?)を教えてください

  • 質問ではないんですけど、すっごくわかりやすかったです!!
    助かりました! ありがとうございます!

  • 0は倍数に入りますか?
    (もし、nー1で、nが1の時、0になりますよね…)
    あと、nの数字が小さかったりして(1とか)、n-2などがマイナスになる場合があると思うんですけど、マイナスになる場合も倍数ですか?

  • この問題だと正の整数という条件があるから0や負の数は含まれないかな!

  • 似たような問題なんですが、
    奇数から始まる3つの続いた整数の和が6の倍数になる…という問題で躓きました(˙꒳​˙ )
    整数をnにして式を作って足したんですが、その答えが6n+6になりました。ここまではいいのですが、この6n+6が6の倍数の形にするために6(n+1)になるらしく、どうして6n+6が6(n+1)になるのかのか分かりません。
    どのように式を変形させたのでしょうか?
    実力テストが近いので焦っています…:(;゙゚’ω゚’):
    解説よろしくお願いします。

  • これは共通因数でくくるってやつだね。
    分配法則を逆にしたものだ。
    2つの項の6nと6は両方6がかけられているよね?
    だからその共通の6でくくってやると6(n+1)になるんだ。この変形はよく出てくるから違うパターンでもマスターしておこう

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