5ステップでわかる!底面が扇形の立体の表面積の求め方

底面の扇形の立体の表面積を求めたい!

こんにちは!この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。

 

世の中にはいろいろな立体の問題が存在しているけど、中には

扇形の底面を持った立体の表面積を求める問題

もあるみたいだね。

例えばこんな感じの問題。

 

今まで色々な立体のの問題を解いてきたけど、LINEで質問をもらって初めて出会った問題だから解説記事を書いてみたよ。

 

Step1. 展開図をかく

底面が扇だろうが四角だろうが三角だろうが、立体の表面積を求める問題では、

まず展開図をかいてみることが大事だね。

Sponsored link

なぜなら、

展開図をかくと、自分がどのような図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか?

という全体像が見えてくるからだ。

 

ってことで、例題の底面が扇形の角柱の展開図を書いてみるとこんな感じ↓

 

 

上下に底面の扇形が2つあって、そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。

この展開図から、

  • 底面の扇形2つ
  • 側面の長方形1つ

の面積を計算して足してやれば表面積が出てきそうだね。

 

Step2. 底面積を求める

ということで、まずは扇形の底面積から求めていこう。

扇形の面積の求め方は、

円周率×半径×半径×中心角÷360

だったね?

 

今回の例題の底面の扇型は

  • 半径4 cm
  • 中心角 90°

だから、まんま公式にぶちこんでやって、

Sponsored link

円周率×半径×半径×中心角÷360

= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360

=  4π [ cm² ]

となるね。

これが扇形の底面の1つの面積だ。

 

Step3. 側面の横の長さを求める

お次は側面積。

こいつさえ分かれば、あの立体の表面積が計算できるね。

ただ、展開図を書いてみてわかったのは

側面の長方形の縦の長さはわかっているけど、横の長さがわかっていない

っていう事態だ。

具体的に言うと、この側面の長方形の赤い辺の長さがわからないってなってる。。

 

がしかし、だよ?

「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」

と諦めるのはまだ早い。

実はこの長さがわからない辺の長さは、

底面の扇形の弧と重なる部分なんだ。

つまり、底面の扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。

 

扇形の弧の長さの求め方は、

直径×円周率×中心角÷360

で求められるから、例題で出てくる扇形の弧の長さは

  • 直径8cm(半径が4cmだから)
  • 中心角90°

であることを使うと、

直径×円周率×中心角÷360

Sponsored link

= 8 × π × 90 ÷ 360

= 2π [ cm ]

になるね。

これを使ってやると、この立体の側面の横の長さは、

4 + 2π + 4

= 2π + 8 [ cm ]

になるはず。

 

Step4. 側面積を計算する

さっきのステップで側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。

あとは長方形の面積の求め方

(タテの長さ)×(ヨコの長さ)

で側面積を計算すればオッケーだ。

  • 縦 10 cm
  • 横 2π + 8 cm

だから、

(タテの長さ)×(ヨコの長さ)

= 10 ×(2π + 8)

= 20π + 80 [ cm² ]

になるね。

 

Step5. 表面積を計算する

あとは表面積を求めるだけ。

さっきも言ったけど、この立体の表面積は

  • 底面の扇形2つ
  • 側面の長方形1つ

の面積をぜーんぶ足してやれば計算できちゃうね。

つまり、

(扇形の面積)× 2 +  (長方形の面積)

だ。

ここまでのステップで求めてきた

  • 底面の扇形面積 4π [ cm² ]
  • 側面の長方形 20π + 80 [ cm² ]

を使って計算すると、

(扇形の面積)× 2 +  (長方形の面積)

= 4π × 2 + 20π + 80

= 28π + 80 [ cm² ]

が正解だね。

っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、

とりあえず展開図をかいてみることが大事。

これによって、

  • 表面積を求めるためにはどの図形の面積の公式が必要なのか?
  • 計算に必要な辺の長さはどれなのか?

がおのずとわかってくるはずだ。

 

そんじゃねー

Ken

Sponsored Link

質問する