底面の扇形の立体の表面積を求めたい！
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。
世の中にはいろいろな立体が存在しているけど、中には
扇形が底面の立体
もあるみたいだね。
例えばこんな感じ↓
街を歩いていると、次のような底面が扇形の立体が出現した。この立体の表面積を求めよ
この手の問題は次の5ステップで解けるよ。
Step1. 展開図をかく
底面が「扇」だろうが「四角」だろうが「三角」だろうが、やることは一緒。
表面積を求める問題では、
まず展開図をかいてみよう。
なぜなら、
展開図をかくと、どの図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか？
という全体像が見えてくるからだ。
ってことで、例題で出てきた立体の展開図はこんな感じ↓
上下に底面の扇形が2つ。
そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。
- 底面の扇形 2つ
- 側面の長方形 1つ
の面積を計算して、ぜーんぶ足せば表面積が出そうだね。
Step2. 底面積を求める
ということで、扇形の底面積から求めよう。
円周率×半径×半径×中心角÷360
だったね？
例題の扇形は
- 半径4 cm
- 中心角 90°
だから、まんま公式にぶちこんでやって、
円周率×半径×半径×中心角÷360
= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360
= 4π [ cm² ]
となるね。
これが扇形1つの面積だ。
Step3. 側面の横の長さを求める
お次は側面積。
こいつさえ分かれば、表面積が計算できるね。
展開図をかいてみてわかったのは
側面の「縦の長さ」はわかっているけど「横の長さ」がわからない
っていう事態。
具体的に言うと、真ん中の「赤い辺の長さ」がわからない。。
がしかし、だよ？
「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」
と諦めるのはまだ早い。
長さがわからない辺の長さは、
底面の「扇形の弧と重なる部分」なんだ。
つまり、扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。
直径×円周率×中心角÷360
だから、扇形の弧の長さは
- 直径8cm（半径が4cmだから）
- 中心角90°
であることを使うと、
直径×円周率×中心角÷360
= 8 × π × 90 ÷ 360
= 2π [ cm ]
になるね。
これを使ってやると、側面の横の長さは、
4 + 2π + 4
= 2π + 8 [ cm ]
になるはず。
Step4. 側面積を計算する
側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。
あとは長方形の面積公式の
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
で側面積を計算すればオッケーだ。
- 縦 10 cm
- 横 2π + 8 cm
だから、
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
= 10 ×（2π + 8）
= 20π + 80 [ cm² ]
になるね。
Step5. 表面積を計算する
あとは表面積を求めるだけ。
さっきも言ったけど、この立体の表面積は
- 底面の扇形2つ
- 側面の長方形1つ
をぜーんぶ足せば計算できるね。
つまり、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
だ。
ここまで求めてきた
- 底面の扇形面積 4π [ cm² ]
- 側面の長方形 20π + 80 [ cm² ]
を使うと、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
= 4π × 2 + 20π + 80
= 28π + 80 [ cm² ]
と表面積が計算できる。
っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、
とりあえず展開図をかいてみることが大事。
これによって、
- 表面積の計算にどの図形の面積が必要なのか？
- 計算に必要な辺はどれなのか？
がわかってくるはずだ。
そんじゃねー
Ken
Qikeruで執筆しています。
「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな？」
そんな想いで始めました。
角度が80度、高さが9センチメートル、4センチメートルは同じだとどうでしょうか？