【中3数学】中点連結定理の証明がわかる3ステップ

中点連結定理の証明ってどうやるの？？

どーも、ぺーたーだよ。

図形と相似の単元で、

中点連結定理

を勉強していくよね。

えっ、忘れたって！？

中点連結定理を簡単にいってやると、

三角形の2辺の中点を通る線が、

底辺に平行で、

なおかつ、

底辺の半分になってるよー

っていう定理なんだ。

けっこう便利なんだけど、

なんでそうなるの？

って思ったことはないかな？

思ったことがなくても、

中点連結定理を使えれば大丈夫なんだけどねw

ってことで、今日は、

なんで中点連結定理が使えるか？？

を証明していくよ！

中点連結定理の証明がわかる3ステップ

さっそく中点連結定理を証明していくよ。

3ステップで証明できちゃうんだ。

相似の証明
相似比を求める
平行の証明

中点連結定理を証明するために、

つぎの、

△ADEと△ABC

を思い浮かべてみて。

DとEはそれぞれ、ABとACの中点ね。

中点連結定理の証明のゴールは、

DE = 1/2 BC
DE//BC

を証明することだよ。

さっそく証明していこう！

Step1. 相似の証明

まずは△ADEと△ABCの相似の証明だ。

D・Eはそれぞれの中点だから、

AD=DB
AE = EC

だよね？？

ってことは、比であらわすと、

AD:DB=1:1
AE:EC=1:1

になるはずなんだ。

ADとDBの比を合わせると、

AD:AB=1:2…①

ACの比も同じ考え方でAEとECの比を合わせると、

AE:AC=1:2…②

になるね。

んで、

△ADEと△ABCは角Aを共有してるよね？？

ってことで、

角DAE = 角BAC （共通）…③

だ。

①、②、③より、三角形の相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいが使えるから、

△ADE∽△ABC

になるね。

これで相似の証明はできた！

Step2. 相似比を求める

三角形の相似比を求めてみよう。

①のAD:AB=1:2より、

△ADEと△ABCの相似比は1：2になるよ。

なぜなら、

ADとABは対応してる辺どうしだからね。

つまり、

△ADEと△ABCの対応する辺の比は全て、

1：2になるはずなんだ。

ってことは、残りの対応する辺の、

DEとBCの相似比も1:2になるね。

DE:BC=1:2

こいつを別の言い方をすると、

DE=1/2BC

ともできるよね。

これでDEがBCの半分になるってことはわかったね！

Step3. 平行の証明

あとは、

DEとBCが平行であること

を証明していこう。

これで中点連結定理の証明が完了するね。

平行の証明には、

同位角が等しいこと

をつかっていくよ。

△ADE∽△ABCだから、相似の図形の性質をつかうと、

対応する角はすべて等しいはずだね。

ってことは、

角ADE = 角ABC

がいえちゃうんだ。

こいつらは、どうみても同位角。

同位角が等しいから、

同位角をつくってるDEとBCは平行

ってことがいえるんだ。

ってことで、

DE // BC

になるよ。

ここまでの3つのステップから、

DE//BC

DE=1/2BC

であることが言えるんだ。

おめでとう！

中点連結定理を証明できたね！！

まとめ：中点連結定理の証明はステップ踏めばOK

ここまでで、中点連結定理は証明できたね？？

べつに証明はできなくてもいいけど、

なぜ、中点連結定理がつかえるのか？？

ということは、ふんわりでもいいから頭の片隅においておいてね。

じゃ、またね！

ぺーたー

静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める

中点連結定理の証明ってどうやるの？？